——以《等差数列的前n项和》为例

摘要：高阶思维为背景下的教学特征来看，能够有效对学生思维能力进行培养及提升，使学生综合素质得到提高，其所表现出的深度、自主、个性化学习的特点满足当今素质教育所提出的要求[1]，达到新课标所倡导的深度学习、项目学习、探究性学习.这需要以高阶思维的发展和实际问题的解决为背景进行教学设计，来不断地对教学设计模式进行改进与创新.那数学课堂教学中如何发展学生的高阶思维呢？因此，笔者以《等差数列的前n项和》为例，探索如何实现基于高阶思维背景下进行数学公式教学设计和实践作探究.

关键词：高阶思维能力 教学设计? 倒序相加法

　　　一、高阶思维的背景

　　通过我区高中数学教师问卷调查发现（如图1）：1.关注知识传递多于关注学习思维过程，封闭性的训练多思维拓展少，因此，目前大多时候数学教师的课堂教学依然以低阶能力和低阶思维训练为主，缺少有效地对学生高阶思维能力训练；2.学生数学思维能力较差，低阶认识和运用能力比重大，如对公式只记结论，忽略公式的推导，不具备灵活应用数学知识的意识和能力，缺乏将实际问题转化为数学问题的能力，缺乏准确运用数学语言来分析问题、解决问题和数学语言表达现实的能力，思维缺乏灵活性、综合性和发散性.为了更好的匹配新教学需求，提高学生的数学思维能力及应用，显得尤其重要且迫切，要实现这一目标，有效的途径之一就是教师怎样在高阶思维背景下进行教学设计.

　　　二、高阶思维为背景下教学设计的理解

　　高阶思维强调个体在一种陌生的环境下,以一种新奇的方式,利用自己已有的知识和已知的信息来解决问题，即高阶思维能力指在数学情境中发生在较高认知水平层次上的，为达到数学教学目标而付诸努力的一种综合性能力，包括问题分析解决能力、数学知识应用能力、创造力和批判性思维能力等[2].

　　高阶思维为背景下的教学设计是指在数学教学设计和实施过程中，教师要有意识地引导学生如何让深入探究公式的内涵和外延，并创造性思考如何运用所学知识，让学生基于已有认知基础去感知、陈述分析问题;通过开放性结果找出若干解决方案，为后续任务提供思路和方向（即问题求解能力）；通过评价原则使学生能够更充分的展示和分享自己的成果，同时能够合理地评价自己和他人的成果，并在相互评价过程中获得新的思路（即批判性思维能力）；通过尝试挖掘新素材、新的程序模块提高学生创新思维，将其新想法运用于实践;通过再次欣赏获得新思路，创造出更好的作品（即创造力和批判思维能力）[3].

三、以高阶思维为背景如何进行教学设计

　　课堂教学设计，目的是培养学生学会思考、学会怀疑、学会质询。而不是停留在教给学生现成的结论或答案.学生在学习过程中的责任感与投入度，是完成高阶思维的关键，主动寻找学习的意义，在课堂中参与讨论，对自身的观点进行批判性的分析，根据冲突的观点和思考，修正有关内容内涵与外延，并清晰的表达，阐释现有的理解和误解，并与同伴交流、分享及评论同伴的观点，从而进行小组或团队建构新知，促进了知识共同体的发展.因此，在课堂教学中要引导学生在遇到困难时回归课本，回归定义，尤其注重课堂中重视知识的发生过程，让学生真正意义上参加到这一过程中去，从而培养学生高阶思维能力.本文以高阶思维为背景，进行等差数列前n项和教学设计的探究.

　　《等差数列的前n项和》选自《普通高中课程标准实验教科书.数学（必修5）》（人民教育出版社A版，2007）第二章第三节第一课时，如何突破“为什么要倒序相加”这一“核心”问题；需要解决四问题：（1）“小高斯”的隐忧，（2）“奇偶项”的困扰，（3）“倒序和”的突兀，（4）“数与形”的埋没.在设计教学时，需要从相关的问题串，让学生在自然探究、自主发现、自由反思、合作交流中实现这一“核心”问题的解决就显得尤为重要[4].下面从四个方面与进行分析.

　　　（一）以创设问题情境为切入点，让探究更自然

通过观看一个微视频：《数学天才高斯的故事》：

问题1：请问1，2，3，..100是什么数列？上面问题的实质是什么？

　　回答1：它们构成等差数列，上面问题的实质是求这些数的和.

　　师：把叫做数列的前n项和，记作；如果是等差数列，这就是我们今天一起学习的课题：等差数列的前n项和

设计意图：通过学生观看微视频，激发学生学习新知的兴趣及动力,并且可引导学生共同探讨高斯算法更一般的应用,为新课的讲解作铺垫；引出数列的前n项和公式的表示：培养学生三种语言转化，揭开数学概念神秘的面纱并点明今天学习的主题，让学生感受到数学概念来源与真实的生活，从而激发学生的低阶思维.

　　追问1：高斯的算法巧妙之处在哪儿？

　　回答2：不同数的求和问题 相同数的求和问题；

　　加法运算 乘法运算.

　　追问2：用高斯的算法求=1+2+3+4+…+101会出现什么问题？如何解决？

回答3：1+2+3+4+…+101=（1+101）+（2+100）+（3+99）+…+（50+52）+51=101×50+51=5151

回答4：1+2+3+4+…+100+101

=（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（50+51）+101

　　　　　　　　=101×50+101=5151

回答5：1+2+3+4+…+100+101

=（1+102）+（2+101）+（3+99）+…+（51+52）-102

　　　　　　　　=103×50-102=5151

　　回答6：设S= 0 + 1 + 2 + 3 + 4 +…+ 101

S=（0+101）+（1+100）+（2+99）+...+（50+51）

=101×51=5151

　　　设计意图：这一个问题旨在让学生等差数列前n项和通过添项、配对等方法，引发学生的批判性思考，避免公式学习的表面化，深刻地认识到数学有别于其他学科的高度逻辑推理性，在数学公式的联系与区别中加深理解，从而逐步实现由低阶思维向高阶思维的转变.

　　　活动1：教师引导学生进行比较这两种方法与求前100项和的共同特征——第k项和倒数第k项的和等于首项和尾项的和.

　　探究1：偶数项的求和，可以直接分组求和，奇数项求和，可以把到中间项距离相等的组合为一组再加上剩下中间项求和、或把最后一项单独看成一项，把前面的组合为偶数组求和.如果把前面两道题中的100和101换成n，请你计算：=1+2+3+...+n（）

　　　活动6：让学生积极思考，小组交流讨论，学生能够认识到：通过奇偶的讨论，激发学生通过什么方法可以避免项数奇偶性讨论，从而让学生明白为什么要“倒序相加”？

　　　活动7：引导学生分析2k的奇偶性，无能k为奇数还是偶数，2k都是偶数，请问如何避免对n的奇偶进行讨论呢？

=1+2+3+...+n两边同时乘以2，

　　2=1+2+3+...+n+1+2+...+n

=1+ 2 + 3 +...+n

　　=n+（n-1）+(n-2) +...+1

　　2=(1+n)+(2+n-1)+(3+n-2)...+(n-2)+(n-1+2+(n+1)=n(n+1)

化简可得：

　　师：把这种方法叫做倒序相加法（逆序相加法），这样就能避免对n的奇偶性进行讨论，使用这种倒序相加法有一个特征：第一项和最后一项的和与第k项和倒数第k项的和相等.

　　　设计意图：以字母代替数，从特殊到一般引导学生自己从多角度去探究等差数列求和公式，通过老师提出问题驱动学生促解决问题，学生自己思考，小组讨论，双向互动式探究，这种教学评价方法有助于学生的高阶思维能力的培养和提升，让学生进一步领悟“倒序相加”的思想.

（二）类比探究、深入公式概念本质

　　探究2：请尝试求一般等差数列的前n项和.

　　回答8：两式相加，得

　　　设计意图：通过过类比推理，让学生体会从具体到抽象，从特殊到一般，帮助学生进一步探索问题，解决问题，促进学生高阶思维的发展。在直观思维中，让学生形成对公式的基本认识和了解，在脑海中形成一个大体的框架思维，随着思维的不断进阶，学生们对于等差数列前n项和公式有了进一步的理解和认识，在此基础上，学生们明白了倒序相加的外延和内涵，培养了学生高阶思维能力.

　　　追问1：公式推导是依据等差数列的什么特征进行推导变形的？数列求和的本质是什么？

　　回答9：角标和的等距性推导，其等差数列求和的本质是把无限求和转化为有限积计算.

追问2：结合等差数列的通项公式，代入上面的公式还可以变成什么形式？继续将你变形所得的公式按项数n整理，有什么发现？

　　　回答10：整理发现：关于n的二次函数，常数项为0.

　　　追问3：这些公式中有哪些量？要求出其中的某一个，需要知道几个量？

　　　回答11：有五个基本量;;知道其中三个两，就可以求出其他两个两（知三求二）

　　　设计意图：通过追问1、2、3，一方面帮助学生对公式特征再认识，培养学生观察、比较、分析、归纳等能力；另一方面加强对公式的变形，帮助学生螺旋上升地形成认知，获得发展，为学生提供新知与已有知识经验建立内在联系的机会，学生通过问题的深入思考和探究，更好地理解等差数列前n项和公式，让学生认识到只有抓住数学研究对象的本质属性，同时也为用函数观点解决数列问题做铺垫，促进学生达成应有的思维高度，提升了学生的高阶思维能力.

　　　（三）深化公式概念，助力问题解决

　　例：根据下列条件，求相应的等差数列的有关未知数：

（1），求； （2），求；

　　　设计意图：高阶思维能力的提升，还需要通过问题的解决来体现，让学生能够对数学知识产生一定的理解，实现思维的进阶；通过相关的实践活动，促进学生高阶思维的发展，帮助学生更好地成长.

　　【能力提升】根据今天所学的等差数列前n项和公式1和2，请你根据公式的结构特征（知三求二）编写一组试题，并请同桌的同学解答.

　　　设计意图：其一是因为数学的学习没有终点，通过开放性的习题，让学生能在相似的情景中灵活运用，这正是提高学生高阶思维能力的一种方式；其二公式的应用除了直接代入的常规解法及简单的变用之外，还要注意整体思想在数学解题中的应用，培养学生灵活运用公式的能力和用数学的眼观去分析世界，用数学的眼观去解决世界.

　　　（四）总结提升、构建公式概念网络

　　1.从这堂课中，我们学习了哪些重要的知识呢？

　　　回答11：

　　2.等差数列的前n项和公式推导过程中用到了什么方法？

　　　回答12：倒序相加法

　　3.从等差数列的的前n项和公式获得过程中你体会了哪种数学思想？ 公式的应用中又体现了什么数学思想方法？

　　　回答13： 无限转化为有限，特殊到一般的思想，公式的应用中用到了方程思想.

　　4.在学习函数时，我们学习了函数的哪些知识？其研究路径和方法是怎样的？ 我们研究数列和研究函数的路径和方法有何关联？

　　　设计意图：高阶思维反对零散的、孤立的知识结构，通过梳理，构建研究公式概念的图示结构及学习的基本套路，有助于学生知识的记忆与提取.

　　四、高阶思维为背景下的教学启示

　　1.亲历公式的获得，提升高阶思维能力

　　学生自主参与、经历知识的形成与发展，通过观察、联想、分析、归纳、反思等活动，主动地参与知识建构过程，是由低阶思维向高阶思维展开的必要途径.本课等差数学前n项和教学设计中，教师不急于直接介绍“倒序相加法”，而是采用“小高斯”的隐忧情境入手抛出问题，引发学生思考，激起求知欲，然后再以问题为驱动，依次铺垫，从特殊到一般、从具体到抽象、从简单到深入启发、层层引导学生获得公式的推导方法.这样，公式获得由原来的低阶思维能力向高阶思维能力培养的轻松实现转变.

　　2.新旧知识联系与整合，实现数学公式的深度加工

新旧知识联系与整合，是促进学生高阶思维能力的一个有效手段.与之相反，低阶思维下的教学，学生难以实现数学公式理解及灵活应用[5].在本例中，面对等差数列前n项和公式，首要任务是如何引入倒序相加法，其次在公式分析环节，通过问题串的形式让学生逐步形成对公式内涵和外延的初步认识；让学生由易到难、由浅入深的理解公式，掌握公式.这样把学生的认知得到拓展，从而摆脱了只记忆公式，忽略公式的由来，没有深深体会到公式的外延和内涵的含义；同时也实现学生由低阶思维向高阶思维的转变.

3.把握数学的本质与思想，促进学生高阶思维的发展

数学思维的发展是实现高阶思维的突破口，公式教学不应该仅仅停留在表面

浅尝辄止，而要基于数学公式的本质与思想特征，指向培养学生高阶思维能力的发展[4].本例中，对于等差数列的前n项和公式的教学，掌握公式的特征及应用固然重要，但更应该让能了解公式获得过程，突破倒序相加法的获得的必要性以及合理性，通过公式的应用环节，通过“选择公式”，“变用公式”，“自主编题”三个递进层次的训练，激发学生对知识本质和思想方法的思考与总结，实现教师从关注知识传递到关注学习过程的教学重心转换，实现以开放性问题替代封闭性的课堂教学内容再构，为教师从高阶思维的角度制定并完善培养学生高阶思维能力指明的方向.

参考文献

[1]“高阶思维教学特征及教学设计模式初探”.新教育时代 6（2020）.

[2]任松华，博海伦 思维三元理论指导下的数学高阶思维及培养[J]中小学教师培训，2012（12）

[3]冯幼绒，孙天山.基于问题的高阶思维教学研究[J].化学教与学，2016（5）：2-4.

[4]"透视核心素养 创新教学设计——以等差(比)数列求和公式推导为例."?数学通讯?6(2018).

[5]“深度学习视角下数学关键性概念的教学探索——以‘从位移、速度、力到向量’为例.” 数学教学通讯 5（2021）.