为模型简便起见，类似Romer(1990)，假设一旦新的产品品种被R&D部门发明出来后，一单位任一种类型中间产品的生产正好消耗一单位的物质资本，因此物质资本总量可表示为：

(4)

　　2.消费和投资行为

由于考虑到环境质量，物质资本投资将分为两种，一种是直接增加资本存量，另一种是用于改善环境质量。因此，支出有普通消费、资本积累和环保投资3部分组成。为了方便起见，假设环保投资V占物质资本存量的比例为。在不考虑资本折旧的情况下，物质资本K的运动方程为：

(6)

　　3.资源约束

　　用S表示人均能源存量，则S包括可再生能源和不可再生能源两部分。可再生能源的存量随着人们的开发利用以一定的速度增长;不可再生能源的存量随着能源的消耗不会长期增长，但是随着地质勘探和生产技术的不断进步，可供利用的不可再生能源也会发生变化。假设不考虑能源消耗条件下，能源存量的自然增长速度为σ，则能源存量的运动方程为

(7)

假设能源投入对经济产出是必要的，能源生产要素与经济产出之间满足经济学关于生产要素的基本假设。在保证经济可持续增长的前提下，为实现能源的可持续利用，在长期中应有，或者投入生产的人均能源量。人均能源存量增长率非负意味着人均能源存量S随时间保持不变或增加;而R具有负增长意味着，随着经济发展和技术进步，经济对能源的依赖性逐渐减弱。

　　4.环境约束

　　为了将环境质量引入内生经济增长模型，我们借助张彬、左晖(2007)的研究成果，假定环境质量E受两个方面的影响：环境具有自我净化能力;人类的生产活动对环境发展会产生影响。因此，可定义环境约束方程如下：

(8)

式中，ZY表示当前的环境质量下降，意味着产出的增加带来了环境质量的恶化。包含两个部分：一是环保投资对环境质量的贡献，二是技术进步对环境污染治理的正效应。其中，表明环保投资和技术进步可以减弱生产和能源消耗对环境的污染。表示环境质量因环保投资的增加而改善，技术进步不仅可以减少经济产出所导致的环境污染，而且可以提高环保投资效率的正效应。且为一常数，表示环境的自洁能力。，表示环境质量不能低于经济增长中环境承受能力的下限。这样，能源投入的增加提高了经济产出，经济产出规模的扩大导致环境污染，环保投资和环境自洁能力改善环境质量，而技术进步可以减弱环境污染和提高环保投资效率，能源消费、环保投资、技术进步和环境质量就组成了一个动态系统，从而完成了变量内生化的过程。

　　5.消费者偏好

假定消费者具有不变的相对风险规避倾向，其效用函数形式为：

(9)

假定消费者效用贴现率为常数，则消费者终生效用函数为：

(10)

　　三、社会最优均衡分析

　　(一)模型求解

最终产品生产函数(1)式表明：所有的中间产品均为对称的，而且对于每一种中间产品的投入要求均相同，即最优的资源配置必须使得所有已知的中间产品种类有同样的产量：对于，有。因此，最终产品部门的总量生产函数可表示为：

(11)

　　在以上假设之下，社会计划者的目标是，在资本、能源和环境的约束下，通过选取适当的经济增长路径使消费者终生效用最大化。因此，有如下的最优化问题：

(12)

　　现代经济增长理论研究发现，大多数国家的长期增长过程具有稳态的特征，即长期增长过程中所有人均变量的增长率都是常数。这一发现使得在假设增长具有稳态时，数学处理将很方便，因为复杂的非线性微分方程将不会得到明确的结论，因此下面我们主要关注模型的稳态解。

　　以上问题为连续时间内，求泛函积分最大化问题，其中有控制变量和状态变量，是一个非线性系统动态最优化问题。根据最优控制理论，建立现值Hamilton函数H如下：

(13)

其中，C、HY、HN、p和R为控制变量，K、S、H、N和E为状态变量。分别为t时刻物质资本、能源、环境质量人力资本和技术的影子价格。根据最优性条件有：

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