【分　 类】 教育科学
【关 键 词】 最优化；数学建模；数学规划
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正文：

Kruskal 算法、最大流算法、Dijkstra 算法、Floyd 算法；以及近些年出现的用来解决特定类型的遗传算法、模拟退火算法、蚁群算法等。这些算法可以通过LINGO、Mathematic、
MATLAB 等相应专业软件来实现。
4．一个具体实例：出版社资源优化配置模型的建立
2006 年全国大学生数学建模竞赛A 题是关于出版社资源的优化配置。
4.1 问题的提出
某个以教材类出版物为主的出版社，下有9 个分社，分社以学科划分，总社领导每年需
要针对分社提交的资料，将总量一定的书号数合理的分配给各个分社，使出版的教材产生最
好的经济效益。分社提交的资料包括：生产计划申请书、人力资源情况、市场信息分析。而
事实上，各个分社提交的需求书号总量远大于总社的书号总量，因此总社一般以增加强势产
品支持力度的原则优化资源配置。资源配置是总社每年进行的重要决策，直接关系到出版社
的当年经济效益和长远发展战略。资源配置完成后，各分社根据分配到的书号数量，再重新
对学科所属每个课程做出出版计划，付诸实施。
4.2 问题分析
问题要求给出以量化分析为基础的资源配置方法，由于出版社人力资源、生产资源、资
金和管理资源等都捆绑在书号上，这样，问题就可以转化为合理分配书号数，使总社获取的
利益最大。由于自变量是分配到各个课程的书号数，应为大于等于零的整数；同时它们受到总书号数、申请的书号数、人力资源等方面的约束，这样就需建立整数线性规划模型。
由于出版社是在保持对所有教材利润率同一的基础上制定教材单价的，并且同一课程的
不同书目价格差别不大、销量相近，所以分出版社分得不同的书号数不会对出版社获取的利
润产生影响，由此分析可知建立利润最大的整数线性规划模型就转化为建立销售额达到最大
的整数线性规划模型。
根据已知条件可以提取出模型的约束条件：
（1）总出版社发放的书号数目之和为500；
（2）申请书号数的一半≤ 各分社分得的书号数≤ 申请的书号数；
（3）各门课程分得书号数是一个大于等于零的整数；
（4）分配到各分社的书号数不能超过此分社所能完成的书号数的上限。
4.3 整数线性规划模型的建立
由于出版社是在保持对所有教材利润率同一的基础上制定教材单价的，并且同一课程的
不同书目价格差别不大、销量相近，所以分出版社分得不同的书号数不会对出版社获取的利
润产生影响，由此分析可知求解利润最大的问题就转化为求解销售额最大的问题。“课程单
价”（第i 课程的单价记为P_i ）取的是同一课程不同书目的价格均值。
记q_i(i = 1, 2,…,72) 为课程i 在2006 年对于每一书号出版图书的平均值。
对已知数据分析可知，不同课程平均出版的教材数量差别很大，有些之间甚至相差2个数量级，若不作任何处理得出的结果误差很大或者得不出结果。可以用下式对这些数据进
行无量纲处理。
  (i=1,2,…,72)
在进行资源优化配置时，考虑到增加强势产品支持力度的原则，此处给每个课程实际分得的书号数x_i (i =1,2,…,72)一个权值 ，以此来表示总社对不同课程的支持力度。
由上述分析可得，此整数线性规划模型的目标函数为：

总社每年发放到分社的书目总数是固定的（其值为500），由此可以得到约束条件：
  (i=1,2…72)
课程i 分到的书号数x_i应为非负整数，并且不超过申请的书号数 f_i ，即有下述约束：
0 ≤ x_i ≤ f i   i=1, 2 …72
总出版社在分配书号时至少保证分给各分社申请书号数量的一半，由此可以得到约束条件：
    (i=1,2…72, j=1,2…9)
其中a j表示分社j 在2006 年申请的书号数，bj的取值由下式给出。
b₁=0, b₂=10, b₃=20, b₄=30, b₅=40, b₆=48, b₇=54, b₈=60, b₉=66, b₁₀=72
分别记第 j 分出版社的策划人员数量、编辑人员数量、校对人员数量为d j1 , d j2 , d j3，
记第j 分出版社的每个策划人员、编辑人员、校对人员的工作能力（题设中工作能力是指每
人每年最多能够完成的书号个数）分别为e j1 , e j 2 , e j3，由于分配到第j 分出版社的书号数不能超过此分出版社所能完成的书号数的上限（此处的上限定义为总共的策划人员完成的书号数、总共的编辑人员完成的书号数、总共的校对人员完成的书号数这三者中的最小值，记为c j）。即：

由此可以得到约束条件：
    (i=1,2…72, j=1,2…9)
综合上述分析，可以得到如下数学模型：


5．几种数学模型的建立
5.1 线性规划模型
例 1. 某工厂有三个车间生产一种产品，该产品由三种不同的部件组成，每个车间均可
生产这三种部件，各车间工时限制和这三种部件的生产效率如下表所示。各车间应如何分配
工时，才能使该产品的件数最多？
表1 三个车间生产三种部件的情况

车间	工时限制（小时）	部件 1（件数/小时）	部件2（件数/小时）	部件3（件数/小时）
甲	100	10	15	5
乙	150	15	10	5
丙	90	20	5	10

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