近日听闻几位老师谈及运算律(即交换律、结合律与分配律)的教学，其探讨主要涉及两个问题：一是，如何解释运算律的由来最为合理?二是，在运算律的表述上是否有更合理的方式?显然，这两个问题的提出与讨论已经超出了“怎么做”(程序性知识)的具体操作层面，进而对“是什么”(客观事物的本质属性)以及“为什么”(在更高的层面对已有的东西重新建构即“自反抽象”)进行了思考，这也引起了笔者的高度关注，现结合教学实践及相关理论谈谈自己的想法。

　　根据教材编排，运算律的学习一般安排在小学四年级上学期(苏教版教材稍有不同，将运算律分两部分编排，其中交换律和结合律编排在四年级上学期，分配律编排在四年级下学期)，这充分考虑了学生的心理认知特征及累积的数学学习经验，其表现在：四年级学生对加减乘除运算已经积累了比较丰富的计算经验，对加法、乘法的交换律和结合律已经形成了感性认识或直觉经验即“知道交换两个数(加数或因数)的位置，和(或积)不变”，但并不清晰“为什么可以这样”;同时，四年级学生正处于形象思维向抽象思维逐步过渡时期，这也就使其从对运算律的直觉经验上升到理论理解提供了认知支撑。

　　上述分析即已明确表明了学生对运算律的理解应由“直觉经验”上升到“理论理解”的必要性及可能性，至此进而探讨开篇所提的第一个问题即“如何解释运算律的由来最为合理”。

　　笔者注意到，在现行教材及课堂教学中，通常采用这样的做法：以加法交换律为例，先是从生活情境中引出两个相等算式如4+5=9、5+4=9，因为得数相同所以4+5=5+4，然后“你还能写出这样的算式吗”，最后观察发现运算律。笔者无意对这样的教学之优劣做出评价，只是感觉由得数相同而推理出加法交换律似乎欠妥(因为由得数相同而推理出的结论并不唯一，如由4+5=9，1×9=9，则可推理出4+5=1×9，而这与加法交换律并没有关联)，或者说如上的推理未能很好的解释“为什么交换两个加数的位置，其结果一定不变?”对此，笔者调查过五六年级学生：为什么4+5可以变形为5+4?一部分学生回答：因为这是加法交换律;另一部分学生回答：因为它们得数相同。对于前者，笔者又问：什么是加法交换律?学生回答：交换两个加数的位置，和不变。笔者再问：为什么交换加数的位置，和不变?学生没有回答。由此，能否做出这样的推测：学生在学习完运算律这一知识后是否仍旧停留在“直觉经验”层次?

　　正如德国著名数学家菲利克斯·克莱因所指出的，“在考察支配加法和乘法的运算基本法则是什么以前，人们早就熟悉了这些运算。运算的基本性质是19世纪20年代和30年代概括出来的，特别是英法数学家对此作了概括”(《高观点下的初等数学》第一卷 [德] 菲利克斯·克莱因 著 舒湘芹 陈义章等译 复旦大学出版社 第5页)。这些简单的运算律在许久以前就被人们假定存在，直到19世纪数学家开始形式化数学理论之后才对其做出严格定义，且通常是以集合论为依据加以证明的，但对于小学阶段的学生来说，显然不必如此严格。因此，对运算律进行“再创造”或“重构”就显得很有必要。计数公理理论以及著名数学家柯朗与赫伯特鲁宾斯在其合著的数学名著《什么是数学》中所创立的关于运算性质的具体模型便为我们提供了视角。

　　计数公理理论认为：计数就是数数，在计数时(1)只要没有遗漏，没有重复，计数的结果与计数的顺序无关。(2)用其他事物代替要数的事物，计数的结果不变。(3)最后出现的数就是要数得的结果。如任意两个数a、b，不论先数a还是再数b(即a+b)，或是先数b还是再数a(即b+a)，其结果都是一样的。

　　柯朗与赫伯特鲁宾斯在其合著的数学名著《什么是数学》中指出，“对抽象的整数概念给出一个具体模型就能够说明规律所依据的直观基础。对于一个给定的集合，其中对象的个数我们不用通常的符号1，2，3等来表示，而在一些方框放一些点来表示，一个点代表一个对象。通过这些方框的运算我们可以看到这些整数的算术规律。

　　两个整数a和b相加时，我们把相应的方框两端相连，并去掉中间的相隔线。

　　+ =

　　图1 加法

　　为了乘a和b，我们把两个方框中的点排成行构成一个新方框，其中有a行，b列个点。

　　× =

　　图2 乘法

　　现在我们可以把规律看成是用这些直观明了的方框来进行运算的性质” (《什么是数学》[美]柯朗 罗宾 著 斯图尔特 修订 左平 张饴慈 译 复旦大学出版社 第8页)。

　　×( + ) =

　　图3 分配律

　　计数公理与具体模型相结合，学生能比较直观的理解运算律，以加法交换律为例，笔者认为在教学中可以引导学生分层理解，逐级抽象。

　　(1)基本层次

　　?

　　先数左边即5+4，或者先数右边即4+5，计数的顺序不同但不影响计数的结果，所以5+4=4+5。

　　(2)稍扩展层次

　　…… ……

　　共289个 共176个

　　?

　　先数289个即289+176，或者先数176个即176+289，不用计算便可知晓它们的得数必然相等即289+176=176+289。

　　(3)较高层次

　　…… ……

　　共a个 共b个

　　?

　　先数a个再数b个即a+b，或者先数b个再数b个即b+a，根据计数公理我们便能得出结论a+b=b+a。

　　在此，笔者想特别提及北师大版小学数学教材中关于乘法结合律与分配律所创设的教学情境(如下图4和图5)，既体现了“生活化”，更彰显了数学本质，且与上述公理理论及具体模型有很好的关联。尤其是乘法结合律的揭示(如下图4)中长方体模型的创立，笔者认为极具创意且恰到好处，堪称情境创设的“佳作”。首先，它很好的体现了结合律的数学本质即计数公理理论，“用了几个正方体?”即在长方体中数出一共有多少个小正方体，在计数过程中顺序可以发生改变，如从上面开始数或从前面开始数，结果不会改变。其次，它很好的体现了数学知识的内在统一即用几何模型或原理(长方体的体积计算原理)揭示代数运算规律，有利于培养学生对数学的整体认识。

　　图4 乘法结合律(北师大版小学数学第七册第45页)

　　图5 乘法分配律(北师大版小学数学第七册第48页)

　　再来谈第二个问题，即“在运算律的表述上是否有更合理的方式” ?在讨论中，一位老师说到(在此所述都是指在加法或乘法运算中)，“交换律是改变两个数的运算顺序后结果不变，结合律是改变三个数的运算顺序后结果不变，二者都是阐述运算顺序改变后结果不变，由此我们还可推理出：当n个数连加或连乘时，改变它们的运算顺序后结果仍不变。那是否可以将这两个运算律概括成‘运算顺序可变律’?”

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