由上述分析，笔者认为，交换律及结合律的“各自表述”在数学学习中很有必要。但同时，作为“整体性的把握”及学生灵活思维培养的“运算顺序可变律”可作为对上述两个概念的必要补充与拓展，但在教学中不必刻意强调这一说法，学生领会即可。具体来说，在运算律的初始学习阶段，应强调交换律、结合律的由来、表述及名称本身，而在运算律的应用阶段(即利用运算律进行简便计算)，则应强调解题方法的灵活性及思维的变通性(即“运算顺序可变律”的应用)。

　　最后，笔者对运算律的教学提出几点建议：

　　注重以思想方法的分析促进知识技能的教学。

　　培养学生学会数学的思维，应被看成数学教育的根本目标之一，其途径在于开展以思想方法的分析促进知识技能的教学。笔者认为，在运算律的教学中应主要把握好以下几种思想方法：(1)化归的思想(即事物基于规则由某种状态转变成另一状态)。这应看成“数学神奇”的一个主要方面，即数学总是教会人们把生活中一些复杂的规律、现象、问题等通过转化而变得更加简单，如统筹、预测、分析等。这一点在运算律的教学中可以得到很好的体现，如48×25可以转化成12×4×25、6×8×25及40×25+8×25，101×56可以转化成100×56+56等等。在此，笔者认为，我们不应仅仅停留在“求得问题的解答”这一层面，而应引导学生作进一步的思考：在解决问题时我们用了什么方法?这种方法怎么样?是否还有更好的方法?等等，进而促使学生对知识“再认知”(或“元认知”即对学习过程实施“评估”和“监控”，这可看成是美国著名数学教育家舍费尔德在“问题解决”方面对波利亚的超越)。(2)符号化的思想(即数学的形式化)。数学并不直接研究现实生活中的具体事物，而是从客观事物中抽象出可独立的、共性的量性特征，并以此为自己的研究对象。从数学抽象的来源看，可分为两种，一是对现实原型的抽象即“直接抽象”，二是对数学对象(如数学概念、数学定理等)的再抽象即“间接抽象”(或称“抽象再抽象”)。而数学抽象的过程，正是符号化(形式化)的过程，毋宁说符号化(形式化)本身就是数学抽象的结果。从这个角度上说，数学学习就是一个不断符号化(形式化)的过程。因此，在运算律的表述中，应注意引导学生从具体的数逐步过渡到抽象的字母(如a+b=b+a等)。但同时又应认识到，这一过程必须循序渐进，因为其背后涉及的是思维的转变即“算术思维”(操作性观念)向“代数思维”(结构性观念)的转变。因此，教学中要做到合理引导、逐步抽象，更为重要的是要让学生体会到字母替代数的优势(即跟唯一性的数字相比，字母具有更广泛的代表性)。同时又要及时给予“意义赋予”(即对抽象的东西赋予具体化的解释)，防止因过渡形式化导致学生数学学习情感的反向发展。

　　注重培养学生思维的灵活性。

　　现代认知心理认为，问题解决就是在“问题空间”里搜寻“解决路径”(指“算子”，此与前面运算律中的“算子”有不同，指问题由一种状态向另一状态转变的办法或途径)，即问题由“初始状态”向“目标状态”转变的过程。找寻“算子”的时间越短，且问题解决的“中间状态”越少(即主体在关于“问题”的知识结构相关成分间转换得越快)，即可视为问题解决的能力越强。结合运算律教学，这一理论也很有指导意义，如计算128+45+355+272，首先要对问题“深刻理解”即这是一道四数连加的题，进而“状态转换”：(1)是否可以利用运算律使计算更为简便;(2)观察加数128与272、45与355，刚好可以凑整;(3) 依据加法交换律及结合律可以实施简便计算;(4)问题解决。为了培养学生思维的灵活性(即学生根据实际需要，对知识结构的相关成分灵活转换)，在教学中我们要做好两项练习：一是培养学生对数的“凑整意识”，即整十、整百、整千的数总能使计算变得更加简单。要引领学生善于“找朋友”，如72与28，25与4，101可以转换成100+1，98可以转换成100-2，56可以转换成56×1等等;二是培养学生应用运算律进行简便计算的“结构意识”，即a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),a×b=b×a, (a×b)×c=a×(b×c), (a+b)×c=a×c + b×c,使学生对基本结构或类似结构能做出清晰的认知，进而准确判断计算中能否简便计算，运用何种运算律简便计算。如计算99×78+78，对照上述基本结构，我们不能简便计算，但它属于(a×b)×c=a×(b×c)及 (a+b)×c=a×c + b×c的类似结构，我们可以尝试“状态转换”即是否能将其转变成上述两个基本结构之一。通过把78转换成1×78，我们就可以把99×78+78转换成99×78+1×78即(a+b)×c=a×c + b×c，进而我们也就能依据运算律进行简便计算。思维的灵活、计算的快捷固然是我们对运算律教学的基本要求，但“规则意识”(如引导学生思考：我们可不可以这样做?我们为什么可以这样做?)从某种程度上来说更为重要，99×78+78就为我们提供了一个很好的案例。

　　注重培养学生的优化意识。

　　从认识论的角度看，任何学习活动应是“建构”与“反映”的统一。这即是指，学习活动首先应是一个“建构”的过程，即主体利用已有知识和经验为基础通过“同化”对知识进行“主观建构”(即“意义赋予”)，进而形成知识的“主观意义”(即“主体化”或“内化”)。同时，认识活动的根本目标是准确认识客观世界，正确反映客观事物的本质属性，即认识活动是一个不断企及知识的“客观意义”(即“客体化”或“外化”)的过程。要实现这个目标，就必须用知识的“客观意义”不断“调节”“顺化”(即“社会规范”)知识的“主观意义”，从这个角度说，学习就是一个文化继承的过程。整体来看，即是指“建构”是认识活动的过程，“反映”是认识活动的目的，任何认识活动应体现二者的必要平衡与统一。

　　以此作指导，笔者认为，算法的多样化与优化其实就是“建构”与“反映”这一认识论基本矛盾在教学实践中的具体体现。多样化，即倡导学生对知识的“主观建构”，尊重学生对知识的“主观理解”;优化，即尊重知识的“客观意义”，还原知识的“真实面目”。如上述分析，在具体教学中，我们应努力做到二者的必要平衡与统一，即鼓励算法的多样化，但也要做好必要的优化。如计算98+375，我们便可有多种计算方法，即90+8+375、95+3+375、100-2+375、98+300+75、98+372+3、98+2+373等等，毋庸置疑这些计算方法都是正确的(即符合数的分解与组成规则)，但显然100-2+375与98+2+373两种算法更能体现数学的“简洁化思想”(即“复杂问题简单化”)，所以“多样化”之后的“比较”和“优化”就很有必要，毋宁说，这对于培养学生良好的数学素养有着重要作用。

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