尚不论上述观点的合理性，笔者对上述思考行为本身颇为赞赏。要对看似“天经地义”、“理所当然”、“习以为常”的做法进行深层分析，要对“不加思考就接受的东西”(如书本上的东西、专家的话语)进行深刻反思，这应被看成教学研究的一个基本立场，即研究者应保持“开放的头脑、批判的思考”。唯有此，我们才能在课程改革的惊涛骇浪、在形形色色的理论、口号中保持自我，不被迷失。在此，笔者认为南京大学郑毓信教授的这一提法就很有必要，“我们在面对任何理论、学说或观点时，应思考三个问题：一是这一观点的理论本质是什么?二是这样做有什么启发和教益?三是这样做有什么局限与不足?”

　　回到上述问题的分析与讨论，显然，我们首先应对交换律和结合律的数学本质从理论高度进行研究。如前所述，笔者已经就这二者引用了一个理论模型，即计数公理理论，但同时笔者也要指出，以此理论来完全定义和概括交换律及结合律显然是片面的，从现代数学的角度说甚至是不合适的，毋宁说，计数公理仅限于在自然数范围内对相关运算性质作出解释和说明。

　　“交换律是一个和二元运算及函数有关的性质。而若交换律对一特定二元运算下的一对元素成立，则称这两个元素为在此运算下是‘可交换’的”(引用于互联网《维基百科网》，以下关于交换律的介绍皆引用于此，不再重复http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4%E6%8D%A2%E5%BE%8B)。可见，交换律的核心在于“可交换”， “‘可交换’一词被使用于如下几个相关的概念中：1. 在集合 S 的一二元运算 * 被称之为“可交换”的，若：x ∗ y = y ∗ x ∀ x,y ∈ S，一个不满足上述性质的运算则称之为“不可交换”的。 2. 若称 x 在 * 下和 y “可交换”，即表示：x ∗ y = y ∗ x。 3. 一二元函数 f:A×A → B被称之为“可交换”的，若：f(x,y) = f(y,x) ∀ x,y ∈ A”。交换律在数学研究、数学证明中的广泛应用，也证明了其在整个数学体系中的基础地位，如“在群论和集合论中，许多的代数结构被称做是可交换的，若其中的运算域满足交换律。在数学分析和线性代数中，一些知名的运算(如实数及复数上的加法和乘法)的交换律会经常被用于(或假定存在于)证明之中”。 如上所述，“可交换”及“广泛应用”可以被看成是交换律的基本特征。

　　“在数学中，结合律是二元运算可以有的一个性质，意指在一个包含有二个以上的可结合运算子的表示式，只要算子的位置没有改变，其运算的顺序就不会对运算出来的值有影响。亦即，重新排列表示式中的括号并不会改变其值”。其定义是，“形式上，一个在集合 S 上的二元运算*被称之为可结合的若其满足下面的结合律：(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) ∀ x,y,z ∈ S”。“运算的顺序并不会影响到表示式的值，且可证明这在含有“任意”多个 运算的表示式之下也依然是成立的” (引用于互联网《维基百科网》，以上关于结合律的介绍皆引用于此http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BB%93%E5%90%88%E5%BE%8B)。

　　如上介绍，现代数学意义上的交换律与结合律无论其内涵还是外延都比计数公理理论层面的解读要高出许多，毋宁说，小学数学教材中的运算律仅仅只是一个“简易版本”。以上述理解作指导，我们就能对“是否可以将这两个运算律概括成‘运算顺序可变律’”这一问题进行分析和判断(为便于研究，笔者将交换律与结合律分开表述简称为“各自表述”，将由交换律和结合律概括而成的“运算顺序可变律”简称为“合成表述”)。首先，我们应当看到“合成表述”有一定的合理性成分：第一，“合成表述”关注的是“运算顺序发生改变后结果不变”这一特征，而这恰恰是交换律与分配律的本质属性之一，即“可交换”与“可结合”的前提条件是“相等”，这也正是二者最主要的共性成分;第二，“合成表述”体现了学生对知识的“整体性把握”。郑毓信教授指出“我们不能将所说的‘基本知识和基本技能’看成各个孤立的数学事实或算法，而应将后者看成‘知识网络’中的结点，也即是从整体的角度对知识和技能进行分析的结果”(《数学教育：从理论到实践》郑毓信著 上海教育出版社 第317页)。运算律的教材编排中，往往是分割成加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律，且按照这样的次序逐步教学(北师大版教材的编写与众不同：先学习乘法结合律，而后在练习中引出乘法交换律，最后以“你知道吗”的形式揭示加法交换律和结合律)，因此将这些“知识技能”整合成“知识网络”就尤为重要，而“合成表述”应该说在此起到了一定的促进作用。第三，运算律的应用即简便计算为“合成表述”提供了现实支撑。在小学数学阶段，简便计算占据重要地位，无论是对相关运算律的掌握还是灵活思维能力的培养，都起着重要作用。不少人甚至认为，“应用题”与“简便计算”是判断小学生聪明与否的重要标尺。在简便计算中，不少运算已经超出了三个数，如128+45+355+272，若严格按照交换律与结合律的定义，则只能第一步应用交换律，第二步应用结合律……诸如此类，依次计算。但尚若应用“合成表述”则可实现“诸元素间任意搭配”，简化了计算过程，灵活了思维方法。因此，此种思想方法可以说在学生中有着广大市场。

　　同时，我们又应清醒的认识到“合成表述”有着诸多局限。第一，如上所述根据交换律和结合律的理论介绍，我们可以发现二者有着很大的共性成分，但也有着明显的不同即交换律中算子(加数或因数)的位置可以改变但结合律中算子的位置不允许发生改变。显然，“合成表述”只是强调了交换律与结合律的共性成分，却未能体现二者的不同要素。第二，一个数学对象的形成往往要应经历三个环节：(1)“心智建构”。数学对象首先应是一个“发明创造”，即主体利用直觉和经验对客观事物的量性特征进行观察分析，找出其中的“共性成分”，使之超越具体事物并“独立”出来。如人们从一个苹果、一个石子、一把刀、一棵树等事物中发现了都具有“一”这个量性特征，便把它从这些具体事物中“独立“(抽象)出来，便形成了关于“1”的“心智建构”。(2)“心智对象”。一旦某一对象得到了‘建构’，它就立即获得了确定的“客观内容”，主体也不能随意对其加以改变，即只能依据明确的定义及相应的规则严格进行推理，从而保证了这一对象由主观的“心智建构”向客观的“心智对象”转化。(3)“数学对象”。主体的“发明创造”最终能否成为“国际通用”的“数学对象”，最后还取决于“数学共同体”的评判，只有经“共同体成员”的接受并认可，才能成为数学的组成部分(《数学教育：从理论到实践》郑毓信著 上海教育出版社 第44页)。从这个角度看，“运算顺序可变律”要得到“数学共同体”的认可并成为“数学对象”显然还有大量的工作要做。第三，“不同学段重复学习同一知识”是数学学习的一个基本特征，而“逐级递进，螺旋上升”也可看成数学学习的一个基本规律，这就要求数学教师在开展数学教学时必须要有“长远眼光”，即不应仅仅满足于当前知识的教学，还应为学生下一步的数学学习作好铺垫和必要的衔接，毋宁说，数学学习本身就应是一脉相承的。显然，作为小学数学老师的这一创造——“运算顺序可变律”，未必就能获得中学老师、大学老师的认可，甚至说他们连知晓这一名称的可能性也极低!

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