十九世纪俄国数学家罗巴切夫斯基和德国数学家黎曼，在企图证明欧几里德的第五公设过程中，没有局限于用形式逻辑思维方法去思考，各自凭借思维的洞察力，凭直觉提出有关平行问题的两种不同公理，从而建立了非欧几何––––罗氏几何和黎氏几何。

　　三、数学直觉思维的培养

　　一个人的数学思维、判断能力的高低主要取决于直觉思维能力的高低，而数学直觉是可以培养的，徐利治教授就曾指出：“数学直觉是可以后天培养的，实际上每个人的数学直觉也是不断提高的。”

　　1、数学直觉思维的培养需要扎实的知识基础

　　若没有深厚的功底，是不会迸发出思想的火花的。在数学教学中我们应该告诫学生千万不要把“直觉”当作是凭空臆想、想当然、胡乱猜测，猜也是要有根据的，就象没有坚实的地基哪有高耸入云的大厦一样，数学直觉是建立在扎实的知识为基础上的。知识储备越丰富越广泛，逻辑思维能力就越强，猜对的几率也就越大。

　　例如2007年常州中考第27题：

已知，如图，正方形的边长为6，菱形的三个顶点分别在正方形边上，，连接.

(1)当时，求的面积;

(2)设，用含的代数式表示的面积;

(3)判断的面积能否等于，并说明理由.

　　分析：作高FM

　　如果你有扎实的知识基础，知道：如果两个角的两条边分别平行，那么这两个角相等或者互补。你马上知道∠FGM=∠HEA，马上这两个三角形全等。

　　正如“数学王子”高斯曾经反复强调，他的数学发现主要来自经验。“证明只是补行的手续”。此时的解题就是补办手续了。因此应加强基础知识的教学，注意培养学生的基本能力，丰富学生的表象储备，完善学生的结构知识。如在三角形全等的教学中，我们教师应多运用多媒体和实物模型，进行翻折、平移、旋转等变换，使学生头脑中初步形成全等的直觉表象，再适当提高难度加以练习巩固。

　　2、数学直觉思维的培养需要设置直觉思维的意境和动机诱导

　　设置直觉思维的意境和动机诱导，就要求教师转变教学观念，把主动权还给学生。对于学生的大胆设想给予充分肯定，对其合理成分及时给予鼓励，爱护、扶植学生的自发性直觉思维，以免挫伤学生直觉思维的积极性和学生直觉思维的悟性。教师应及时因势利导，解除学生心中的迷惑，使学生对自己的直觉产生成功的喜悦感。

　　在教学中，教师应及时捕捉和诱发学生学习中出现的灵感，对于学生别出心裁的想法，违反常规的解答，标新立异的构思都应及时给予肯定。促使学生能直接越过逻辑推理而寻找到解决问题的突破口。

　　“跟着感觉走”是我们教师经常讲的一句话，其实这句话里已蕴涵着直觉思维的萌芽，只不过没有把它上升为一种思维观念。我们教师应该把直觉思维冠冕堂皇的在课堂教学中明确的提出，制定相应的活动策略，从整体上分析问题的特征;重视数学思维方法的教学，诸如：换元、数形结合、归纳猜想、反证法等，对渗透直觉观念与思维能力的发展大有稗益。

　　3、数学直觉思维的培养需要渗透数学的哲学观点及审美观念

　　直觉的产生是基于对研究对象的整体的把握，而哲学观点有利于高屋建瓴的把握事物的本质。这些哲学观点包括数学中普遍存在的对立统一、运动变化、相互转化、对称性等。台湾著名作家龙应台在的百年思索演讲中，讲到：哲学，使我们能藉着星光的照亮，摸索的走出迷宫。美的意识能唤起和支配数学直。纵观古今，数学上的许多发现和创举无论从宏观还是微观上看无不遵循美的创造规律。数学大师阿达玛认为，数学直觉的本质是某种“美感”或“美的意识”。 美感和美的意识是数学直觉的本质。庞加莱毕生追求“简单与宏远”，爱因斯坦看重宇宙的“统一与和谐”。

　　例如：如图，△ABC中，D、E、F分别在BC、AB、AC上，且四边形AEDF是菱形，BC、EF延长线交于G。求证：AG是CG和BG的比例中项。

　　初看该题，学生容易想到，要证△GAC∽△GBA，但∠GAC=∠GDF这一步较难发现，如果学生对对称图形意识深刻，也就能想到△GAF≌△GDF，从而结论得证。

　　4、数学直觉思维的培养需要重视解题教学

　　首先教学中选择适当的题目类型，有利于培养、考察学生的直觉思维能力。例如选择题，由于只要求从四个选择支中挑选出正确的答案，省略解题过程，容许合理的猜想，有利于直觉思维的发展。

　　例如：△ABC的三条边长分别是10、24、26，那么它的内切圆半径r是( )

　　(A) 6 (B) 10 (C) 8 (D) 4

　　解析：从整体上观察题设中三边之长，可以发现：10、24、26是一组勾股数，即题设△ABC为直角三角形，凭直觉可知，直角三角形内切圆的直径不可能大于或等于它的任一边之长，故必有2r<10,选(D)。

　　从宏观上对问题进行分析，对问题的求解进行直觉的洞察，确定问题的整体思路和途径，往往可以对问题作出迅速、简洁的选择。

　　再如：在平面几何的教学中，老师一般会讲到这样的一个题目：“两条直线如果有两个公共点，那么这两条直线重合为一条直线是根据什么?”同学们很快地会答出根据的是直线公理：经过两点有且只有一条直线。那如果把这个题目给它稍为改变一下：“两条直线如果有两个公共点，那么这两条直线就有无数个点重合，对吗?”通过这样的改动，学生的直觉思维更能得到锻炼。所以在设置选择数学教学例题时一定要把握好。

　　其次要实施开放性问题教学。从最近几年全国各地中考数学试题可以看出：数学开放题越来越受到人们的重视。所谓数学开放题是指那些条件不完备或有多余，答案不必唯一或不必有解，有多种不同的解法或结论的非常规性问题。正是由于其条件或结论的不完备性和不确定性;思维方式的发散性、求异性、创新性;解题过程中思维的探究性、层次性、发展性以及解决问题策略的新颖性而受到人们的重视，同时又正是由于上述特征，要求学生创造性地解决问题，致使许多同学在解题时感到盲然，无从下手。这时直觉思维能力就起到相当重要的作用。

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