【分　 类】 教育科学
【关 键 词】 推理能力    合情推理    论证推理    价值
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正文：

不完全归纳推理

非逻辑推理

观察、实验

比较、猜想

灵感、顿悟

演绎推理

归纳推理

类比推理

数学通常被人们看作是一门以严格论证为特征的演绎科学，严格的数学理论总是建立在论证推理的基础上。论证推理包括演绎推理和完全归纳推理。合情推理导致猜想和发现，论证推理可以证实猜想。正如华罗庚所说：“数学教学实质上是推理的教学”。即数学学习是“合情推理”与“论证推理”这两种形式不同又相辅相成的推理交互作用的过程。对于推理可作如下分类：  
                      
 
数学家与数学教育家历来都十分重视推理能力的训练与培养。史宁中教授指出：对于推理能力的培养，我们现在“缺少的是根据情况预测结果的能力和根据结果探究成因的能力。这两个能力很重要，是创新的基础。前者有利于创造新产品，形成新工艺，后者有利于发现新理论”。 [5]
数学家维尔斯脱拉斯说过：“不带点诗人味的数学家，绝不是完美的数学家。”这里所说的“诗人味”是指富有想象力的合情推理。比如康托创造的集合论、卡丹引进的虚数都离不开高度的想象力。合情推理既是数学创造工作赖以进行的必要技能，也是未来生活和生产进行有效思维的需要。因此，合情推理对于培养学生的探索能力和创新精神有着重要的教育价值。
能力的形成绝不等同于知识与技能的获取，它是一个缓慢的过程，有着自身的特点与规律。推理能力的形成不能只停留在浅表的合情推理的层面上。前苏联心理学家克鲁茨基在《中小学数学能力心理学》一书中提出：“对教学对象进行推理的能力是卓越数学家最重要的品质”，“数学是最适宜于发展严格推理能力的学科，而严格的推理则是数学上发展的很好的主要标志之一”。由此可见，在教学中培养论证推理能力的重要价值。因此，对于已有结论的正确性提出理性的思考，合乎逻辑的质疑是推理能力培养的高级行为，引导学生从合情推理上升到论证推理是数学教学的根本任务。
（二）“合情推理”与“论证推理”教学例举
“空间与图形”的教学，从以前偏重于演绎推理，调整为现在合情推理与论证推理相结合，即不但要求学生在观察与操作中认识图形的性质。而且进一步要求学生作出理性思考的推理，形成证明的意识，理解证明的过程。掌握证明的格式和基本方法，进而感受公理化思想。
以本文开始所提及的两个反例作为蓝本，设计如下教学案例：
案例之一：平行线间的公垂线段相等
（1） 复习和操作
复习“垂直”、“垂线”、“垂足”等名词表示的意义。提出以下问题：
① 怎样检验两条直线是否互相垂直？② 怎样画一条直线的垂线？③ 怎样画两条平行线的公共的垂线？④ 画两条平行线的公垂线段能画出多少？
（2）探究和提出猜想
研究两条平行线段的公垂线段，你发现了什么？你是怎样发现的？（学生可以根据“观察”，运用直觉思维，发现这些公垂线段都相等；也可以在比较两条或几条公垂线段的长度后，运用归纳的方法提出猜想。）
（3）检验猜想
让学生用各自的办法考察两条平行线间更多的公垂线段，看看猜想的结论是否成立。让学生逐步领会；① 如果某一次检验通不过，猜想将被推翻，需要提出新的猜想或修改原有的猜想；② 如果每一次检验都通过了，说明猜想正确的可能性在增大。③ 但猜想最终成为确实可靠的知识，还得经过论证。即运用已有的知识推出该猜想。
（4）论证猜想
“某两条公垂线段相等”你是怎样知道的？（让学生交流）如果我们不用这些方法，不比也不量，能否根据已有的知识，用逻辑推理得出同样的结论？并且引导学生回忆：学过的知识中，有哪些知识涉及两条线段相等？
当学生想起“长方形的对边相等”后，不难看出：两条公垂线段和这两条平行线围成的正是一个长方形。因此，只要我们确信“长方形的对边是相等的”，我们就应该同时确信“两条平行线的任何两条公垂线相等”。
这样我们就在具体的问题情境中，使学生既领悟了合情推理，又认识了论证推理的意义和作用。[6]
案例之二：“长方体的认识”
长方体的认识是在学生直观认识长方体、并且拥有了长方体的有关知识的基础上教学的直观感受和抽象思维相结合、合情推理和论证推理相结合方面，应该显著增加论证推理的份量，以便做好与中学数学教学的衔接。教学程序如下：
（1）从实例抽象出长方体的图形。
复习一年级学习过的知识。让学生从一堆物体中找出长方体，并且说明辨别长方体的依据是什么？从而明确“长方体”就是由六个长方形的平面部分围成的物体。
（2）让学生就实物或模型研究长方体六个面的大小，认识到: 六个面可能有大有小，但相对的两个面总是相同的。
（3）定义长方体的棱和顶点。让学生数一数一个长方体有多少条棱，多少个顶点。并且交流数的方法。从逐个计数到按群计数，再到根据长方体的基本特征推算：因为长方体有六个面，每个面有四条边，每条棱都是两个面的公共边。所以一个长方体有=12条棱。同理可以推算出长方体有8个顶点。
从一个、一个地数到分组数，再到推理和计算，反映了思维训练的强化和思维活动由低级向高级的发展。

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