(1)先对原始信号作正常的EMD分解，把信号分解为一个固有模态函数和一个余项的和，如式(3)所示：

　　(3)

　　(2)对做Hilbert变换，计算其平均频率，考虑到EMD分解具有类似二进带通滤波器性质以及信号带宽限制信号的最小作用距离，取带宽限制系数为1.42，则限制频率为;

　　(4)

　　式(8)中，和分别为对应的IMFi经Hilbert 变换后的瞬时幅值和瞬时频率。

　　(3)构造带宽限制信号：

　　(5)

　　(4)对信号进行EMD分解，得到一个固有模态函数和一个余项，则改进后原信号的第i个分量为：

　　(6)

　　取i=i+1(i的初值为1)，把余项当作原信号，重复上面的步骤，直到所有的IMF都分解出来。

　　图2-图4为经典EMD分解和本文的EMD方法分解结果。分解结果对比表明，限制带宽的EMD分解具有良好的抑制模式混合能力。

　　图4限制带宽EMD分解结果 图3 经典EMD分解结果 图2 信号原始分量

　　与带通滤波和差分抑制模式混合的方法相比较，本文的方法具有如下的特点：

　　(1)与带通滤波方法相比，不破坏EMD分解的自适应性，需要的人为干预少。

　　(2)与差分方法相比，不需要对分解的IMF

　　重新分析，也不需要信号重构，算法更简单易行。

　　3结合分层抽样的短样本模态参数识别

　　分层抽样是将总体按照一定的规则分类后分成不同的样本层，再从每个样本层中抽取一定的子样本综合成一个样本。与随机抽样相比较，在抽样总数相同的情况下，分层抽样可以提高抽样精度。

　　本文将分层抽样技术引入参数识别过程，用不同截取阈值对用限制带宽的EMD分解得到的目标IMF提取自由衰减响应，把截取得到的数据作为一个子样本并提取自由衰减响应，通过Hilbert变换识别参数，根据子样本的拟合偏差和样本量确定层权，每一层数据识别的参数加权平均后得到识别结果。通过分层抽样，用不同的阈值提取自由衰减响应，然后用层权限制非最优截取阈值提取分量对最终识别结果的贡献量，提高在短样本条件下HHT识别模态参数的精度。

　　3.1基于拟合偏差及样本量的层权确定方法

　　用随机减量法提取自由衰减响应的时候，将不同的穿越阈值下截取的数据作为的总体样本的一个分层样本，然后用Hilbert变换包络线与拟合直线的偏差和样本量共同确定层权。构造如下的拟合偏差函数：

　　(7)

　　其中，分别为自由衰减函数经Hilbert变换后的包络线和拟合直线。层权可以通过如下的方程得到：

　　，(8)

　　3.2实现原理及步骤

　　本文方法具体实现步骤如下：

　　(1)用改进的EMD分解将系统的响应信号分解为单模态分量(每一个分量对应一个IMF)。

　　(2)把IMFi看作一个样本序列，计算样本标准差，确定直线穿越的阈值，(本文取5个阈值：，，，，)，用改进的随机减量法提取每一次穿越的自由衰减信号。

　　(3)对每一层的自由衰减信号进行Hilbert变换，然后进行拟合，计算拟合偏差识别模态参数，，根据式(8)计算层权。

　　(4)根据式(9)得到系统的模态参数：

　　， (9)

　　(5)循环(2)-(4)，直到所有IMF分析完成。

　　本文方法的流程图如图5所示。

　　Y Y N 信号x(t) 限制带宽

　　EMD

　　RDT Fij,ζij,Erij,Wij 自由衰减响应xij IMF HT,拟合 每一层? Fi,ζi 所有IMF? 开始 结束 N 图5 本文方法的流程图

　　4实验及应用实例验证

　　5.1仿真实验

　　图6 仿真系统的频响函数及随机响应信号

　　(a) 系统频响函数，(b) 系统的随机激励响应信号

　　仿真一双自由度系统，其频率分别为58Hz，100Hz，阻尼比分别为0.01%，0.02%，图8为系统的频率响应函数和该系统在随机激励下的响应信号。响应信号长度为2.5k，采样频率为512Hz。

　　表1和表2给出了经典的HHT模态参数识别方法、限制带宽的EMD分解结合Hilbert变换方法以及本文的方法识别的参数结果对比。识别结果对比表明：限制带宽的EMD分解有效的;在短样本条件下，本文结合分层抽样技术，参数识别精度更高。

　　表1 第一阶参数识别对比 识别方法 频率(Hz) 频率偏差 阻尼比 阻尼偏差 经典EMD 57.81 0.33% 0.040% 99.7% 带宽限制EMD 58.10 0.17% 0.035% 75.5% 本文方法 58.06 0.10% 0.024% 20.1% 表2 第二阶参数识别对比 识别方法 频率(Hz) 频率偏差(%) 阻尼比 阻尼偏差(%) 经典EMD 101.87 1.87% 0.37% 85.0% 带宽限制EMD 100.71 0.71% 0.029% 39.6% 本文方法 100.27 0.27% 0.023% 15.2% 5.2应用实例验证

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