动平台的势能为：

　　(5)

　　式中，为动平台沿静坐标系的轴上的坐标值。

　　驱动滑块的势能为：

　　(6)

　　、、分别为驱动滑块沿静坐标系的轴上的坐标值。

　　连杆的势能为：

　　(7)

　　因此，系统的势能为：。

　　3.23-PSS并联机构的动力学模型

　　通过对3-PSS并联机构的动能和势能的分析，可以求出该并联机构的Lagrange函数。通过Lagrange方程(1)可以求出广义坐标方向上的广义力，鉴于求解过程很长，这里不再给出求解过程，仅仅给出广义坐标方向上广义力的表达式，如式(8)所示。

　　(8)

　　式(8)为广义坐标x、y、z方向上的广义力，记为：

　　(9)

　　通过力的雅各比矩阵可以求得在驱动滑块所需的驱动力为：

　　(10)

　　至此，3-PSS并联机构的动力学分析完成，当已知动平台的运动参数和负载时，就可以求出系统的驱动滑块所需的驱动力。

　　4 计算实例和动力学仿真验证

　　4.1 计算实例

　　表达式(11)为空间圆锥螺旋线的参数方程：

　　(11)

　　式中t为时间变量，S为螺旋导程，T为运动周期，at为螺旋线在XY平面上的曲线的投影矢径。

　　如果动平台的运动轨迹为空间圆锥螺旋线，可以取a=15mm，S=5mm，T=2S，得到动平台的运动轨迹的曲线方程为：

　　(12)

　　在空载的情况下，使用Matlab对3-PSS并联机构的Lagrange动力学模型求解，并绘制出驱动力随时间的变化曲线，如图4所示。图4(a)是滑块一的驱动力随时间变化曲线，4(b)是滑块二的驱动力随时间的变化曲线，图4(c)是滑块三的驱动力随时间的变化曲线。

　　(a)

　　(b)

　　(c)

　　图4 Matlab中滑块的驱动力曲线

　　从图4可以看出，t=3s时，滑块一的驱动力为：，滑块二的驱动力为：，滑块三的驱动力为：。

　　4.2 动力学仿真验证

　　由于需要求解在给定目标轨迹和负载大小时，驱动滑块的驱动力的大小。在ADAMS中将3-PSS并联机构虚拟样机的动平台上添加驱动，驱动函数为式(12)，图5为3-PSS并联机构的运动仿真，显示出了动平台的运动轨迹为空间圆锥螺旋线。

　　图5 3-PSS并联机构的运动仿真

　　根据动平台的运动轨迹，在ADAMS中求解出三个滑块的运动轨迹，这一求解过程为ADAMS中并联机构的位置反解。求出三个滑块的驱动函数依次为式(13)中的表达式。

　　将动平台上的驱动去除，在三个驱动滑块上依次添加式(13)中的驱动函数，动平台的负载为零。那么，动平台的运动轨迹仍为空间圆锥螺旋线。

　　(13)

　　下面就可以进行3-PSS并联机构的动力学仿真。设置仿真时间为3s，仿真步数设置为60。仿真完成后，使用ADAMS测量功能绘制出滑块1、滑块2、滑块3的驱动力随时间的变化曲线。如图6(a)、图6(b)、图6(c)所示。

　　(a)

　　(b)

　　(c)

　　图6 ADAMS中滑块的驱动力曲线

　　在图6中可以看出滑块1、滑块2、滑块3在t=3s时驱动力依次为、、。对比图4可以看出，ADAMS中动力学仿真的结果与Lagrange动力学模型的计算结果基本符合，从而验证了3-PSS并联机构的Lagrange动力学模型的正确性。

　　5结论

　　本文采用Lagrange方法建立了3-PSS并联机构的动力学数学模型。首先分析了广义坐标的选择方法，介绍了Lagrange动力学方程;其次建立了3-PSS并联机构的Lagrange动力学模型，在已知动平台的运动轨迹和负载大小的情况下，采用Matlab求解出了3-PSS并联机构的滑块的驱动力，并绘制出了驱动力随时间的变化曲线;最后，在ADAMS中进行了3-PSS并联机构的动力学仿真，在相同的动力学条件下绘制出了滑块的驱动力随时间的变化曲线，其结果与从3-PSS并联机构的Lagrange动力学模型得到的结果相吻合，验证了3-PSS并联机构的Lagrange动力学模型的正确性。3-PSS并联机构的Lagrange动力学模型的建立为3-PSS并联机构的控制系统的设计提供了理论依据，也为进一步的动力学性能优化奠定了基础。

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