摘要 针对3-PSS并联机构，应用Lagrange方程建立了3-PSS并联机构的动力学模型，在给定动平台的运动轨迹和负载的情况下，使用Matlab求出了3-PSS并联机构的滑块所需驱动力，并绘制出了驱动力随时间的变化曲线。使用ADAMS进行了3-PSS并联机构的动力学仿真，验证了3-PSS并联机构的Lagrange动力学模型的正确性。为3-PSS并联机构的控制系统的设计提供了理论依据，也为进一步的动力学性能优化奠定了基础。

　　关键词 并联机构动力学 Lagrange方程 ADAMSMatlab

　　0 引言

　　并联机构具有刚度好、运动精度高、易在线控制等优点，因此并联机构在许多科学研究和工业领域获得了广泛的应用[1]。动力学分析包括受力分析、动平衡计算、动力学模型的计算、计算机动态仿真以及动态参数识别等方面，其中动力学模型的建立是动力学分析中最重要的部分。动力学分析对于并联机构的结构设计、动力学性能优化和实时控制都具有重要的意义，因此并联机构的动力学分析具有很高的理论和应用价值[2]。

　　由于并联机构是一个多自由度、多变量、高度非线性、多参数耦合的复杂系统。因此对并联机构的动力学分析需要十分系统的方法[2]。目前，常用的并联机构动力学分析的方法有Lagrange方法、Newton-Euler法和Kane方法[3-4]。Do和Yang首先利用牛顿-欧拉方法对Stewart平台进行了逆动力学分析[5]，但是计算过程复杂、方程数目庞大、易出现错误。东北大学的张国伟、宋伟刚采用Kane方法，对6-UPS型Stewart平台进行了动力学分析[6]，但是其计算过程比较抽象。Lagrange方法是以能量为基础建立的动力学的数学模型，该动力学模型的建立过程中，不需要分析角速度和加速度，并且能够得到形式简洁的动力学方程，清晰的表示各构件之间的耦合关系，不仅适用于并联机构的动力学分析，也适用于并联机构的动力学控制[7]。

　　本文采用Lagrange动力学模型建立了3-PSS并联机构的动力学模型，在已知动平台运动轨迹的情况下，使用Matlab求解3-PSS并联机构的Lagrange动力学模型，得出了驱动力的解析式并且绘制了驱动力随时间的变化曲线。同时在ADAMS中进行了该并联机构的动力学仿真，验证了所建立的动力学模型的正确性。为3-PSS并联机构控制系统的设计提供了理论依据，也为进一步的动力学性能优化奠定了基础。

　　13-PSS并联机构简介

　　3-PSS并联机构的主要组成部分有固定平台、导轨、滑块、连杆、动平台。连杆和动平台、滑块和连杆之间以球铰方式铰接，滑块通过同步带与同步电机相连;同步电机通过带传动方式带动滑块沿竖直方向运动，然后滑块通过球铰带动连杆运动，最终连杆通过球铰带动动平台运动。当三个滑块以不同的规律运动的时候，动平台就可以实现沿X、Y、Z方向的平动以及各种耦合形式的运动，最终实现规划的轨迹。3-PSS并联机构结构简图如图1所示。

　　图1机床结构件图

　　为方便3-PSS并联机构的动力学分析，将该并联机构进行简化。固定平台简化为等边三角形A1A2A3，其外接圆半径为R。动平台简化为等边三角形B1B2B3，其外接圆半径为r。在动平台上建立动坐标系o-xyz，动坐标系o-xyz的原点位于B1B2B3的中心，x轴垂直于B1B2，y轴平行于B1B2，z轴由右手坐标系得到;固定平台上建立静坐标O-XYZ，原点O位于三角形A1A2A3的角平分线的交点，X轴垂于边A1A2，Y轴平行于边A1A2，Z轴根据右手坐标系得到，如图2所示。

　　图2机构位置结构简图

　　该并联机构的主要结构参数如表1所示。

　　表1 3-PSS并联机构结构参数

　　杆长

　　L(mm)

　　机床参数

　　R(mm)

　　机床参数

　　r(mm)

　　导轨长

　　a(mm)

　　185

　　120

　　33

　　500

　　本文研究的并联机构的材料为45#钢，动平台的质量，滑块的质量为，连杆的质量为。

　　2 动力学分析的理论基础

　　2.1 广义坐标

　　除了直角坐标外，还可以采用其他形式的坐标来描述一个给定系统的位形。如对一个质点而言，除笛卡尔坐标可以用来描述这一质点的位置外，还可以用球坐标或者柱坐标来表示它的位置。需要指出的是，自由度是系统本身的自然特性，并不依赖于为描述系统所采用的一组特定的坐标[8]。考虑到坐标之间的变换，我们规定，在完全约束条件下，唯一能够确定质点系统的独立变量就可以用作广义坐标。

　　在分析约束条件比较多的的问题的时候，最好选择独立的广义坐标，这样可以减少代表约束的变量。当分析非完整约束的问题或者求解约束力的时候，就必须使用关于约束力的、相依的广义坐标。图3用两个实例说明在实际应用的广义坐标的选取。

　　图3广义坐标示意图

　　在图3(a)中，小环m限制在固定于竖直平面内的光滑的大圆环上运动，可以看出，小圆环只可以绕大圆环转动，因此小圆环只有一个自由度，如果使用直角坐标描述小圆环的位置为：，还可以使用角度唯一的确定小圆环的位置[9-10]。在图3(b)中，可以选用和做为一组广义坐标来描述杆和位形。

　　2.2Lagrange动力学方程

　　Lagrange动力学方程为：

　　(1)

　　式中，为Lagrange函数，等于系统的动能与系统的势能之差，，为广义坐标，为广义坐标的的一阶导数，即沿广义坐标方向的速度，为沿广义坐标的广义力，为系统的自由度数目。

　　系统的动能和系统的势能可以使用任一组广义坐标表示，所以，广义坐标的选取直接影响系统的动力学模型的复杂程度。相对于正解而言，并联机构的逆解更容易。选择三个滑块的位移变量作为广义坐标会涉及到并联机构的正解，不仅会增加动力学模型的复杂程度，也会增加动力学模型求解过程的计算量。因此，选择动平台的三个位置变量、、作为3-PSS并联机构的广义坐标，使用该广义坐标表示连杆、滑块和动平台的动能和势能，最后进行广义力和滑块驱动力的求解。

　　由于连杆的质量比较小，连杆的转动动能的计算比较繁琐，其值也远小于滑块、动平台的动能，因此，为了方便计算，忽略了连杆的转动动能，只计算连杆的平动动能。

　　3 3-PSS并联机构的动力学分析

　　3.1系统的动能和势能分析

　　并联机构的动能包括动平台的动能、三个驱动滑块的动能和六个连杆的动能组成。

　　动平台的动能为：

　　(2)

　　式中，为动平台的速度，为动平台的质量。

　　三个驱动滑块的动能为：

　　(3)

　　式中，为驱动滑块的质量，、、分别为驱动滑块1、驱动滑块2、驱动滑块3的速度，驱动滑块的速度可以根据式求解驱动滑块的速度，为该并联机构的一阶影响系数矩阵。

　　六根连杆的动能为：

　　(4)

　　式中，连杆的速度为：，，其中为连杆的质量。

　　因此，系统的动能为：。

　　下面进行系统的势能的分析，系统的势能包括动平台的势能、滑块的势能和连杆的势能三部分。

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