解线性方程组即可得到每个可达标识的稳定概率P[Mi] =(1in)。

　　2.3模型中各模块性能指标计算公式

　　求得了系统每个可达标识的稳定状态概率，就可以进一步运算得到模型中各模块性能指标计算公式：

显然机器1的利用率(记为)是系统处于稳定状态时库所p2中存在token时的概率，它是所有m(p2)=1的可达标识的稳定概率之和，它的计算式为：=prob。

同样可以得到机器2()的利用率、故障率及系统在制品库存等系性能指标的计算式，如下所示：

机器的利用率的计算式为：=prob;

机器故障的概率为：=prob;

机器故障的概率为：=prob;

机器阻塞的概率为：=prob;

在制品库存(WIP)的计算为：parts。

其中prob表示中令牌数等于1的概率;E是数学期望。

　　从得到的计算式可以看到：对于这样一个系统来说，通过状态转换概率矩阵来计算各稳定状态的概率，并进而计算机器的利用率和损耗率以及产出，这种方法的计算量是非常庞大也极其复杂。因此，我们用一种生产物流仿真软件Flexsim，来对该系统进行仿真来分析系统性能。

　　3 Flexsim仿真

　　Flexsim是一种生产物流仿真软件，其自带实体库的功能非常强大，无须经过复杂的编程只需设置各个实体的相关参数，就可以将仿真模型中的实体与Petri网模型中的模块相对应，这就将Petri网模型转化为了Flexsim仿真模型。用Flexsim对本文研究系统进行仿真的步骤如下：

　　(1)明确仿真目的，对系统进行分析;(2)构建系统的Petri网模型;(3)将Petri网模型中的模块与Flexsim中的实体对应起来;(4)设置仿真模型中各实体相关参数;(5)将Petri网模型转化为Flexsim模型，(6)仿真运行、分析。

　　如图2 是两机器一缓冲区的Petri模型所对应的Flexsim模型，其中Processor1对应机器1，Processor2对应机器2 ，Queue 1对应 buffer。

　　图2 两机器一缓冲的Flexsim模型

　　Figure 2 Flexsim model of two machines and one buffer system

　　为便于比较我们利用Geshwin的实验参数给定变迁的初始设定如表2所示：

　　表2 各变迁的点火速率(λ为指数分布参数)

Table 2 Firing rate of transitions (λ: Parameter of exponential distribution) 变迁 (次/小时) 变迁 (次/小时) 1 2 3 4 5 6 设定仿真试验的参数变动如下：变迁t2的平均点火速率从 0.1~100, 其他参数保持不变。由此得到的仿真数据(仿真时间500h)如表3。曲线图如图3中的图1、图2、图3。

　　图3 Flexsim 仿真所得到的曲线图

　　Figure 3 Charts from Flexsim simulation

　　表3 Flexsim仿真数据

Table 3 Simulation result of Flexsim 处理器1加工

时间(1/) 系统生产率

　　(件/小时) 在制品平均

　　库存(件) 处理器1的

　　利用率 处理器2的

利用率 0.1 10 0.097 0 0.980 0.049 0.15 6.67 0.144 0 0.971 0.072 0.2 5 0.191 0 0.961 0.095 0.25 4 0.237 0 0.952 0.119 0.3 3.33 0.281 0 0.943 0.141 0.4 2.5 0.37 0 0.926 0.185 0.5 2 0.453 0 0.909 0.227 0.6 1.67 0.533 0 0.893 0.267 0.7 1.43 0.611 1 0.877 0.306 0.8 1.25 0.687 1 0.862 0.344 1 1 0.831 1 0.833 0.416 2 0.5 1.430 1 0.714 0.713 5 0.2 1.491 4 0.300 0.746 8 0.125 1.490 4 0.188 0.746 10 0.1 1.490 4 0.150 0.746 20 0.05 1.492 4 0.075 0.746 40 0.025 1.492 4 0.038 0.746 80 0.0125 1.492 4 0.019 0.746 100 0.01 1.491 4 0.015 0.746

　　图4 Geshwin 的研究结果

　　Figure 4 Research result from Geshwin

　　从图3的仿真结果可以看出，随着机器1的加工时间缩短，系统的平均产出率不断提高，但到了一定值之后就停止了，这说明了加工时间最长的机器决定了系统的生产率。并且当两台机器的加工时间相等时，系统接近于它的最大生产率，然后不论怎么提高加工时间短的机器的效率，系统的最大生产率也不会有很大的提高。

　　将仿真的数据和Geshwin (图4) 得到的结果进行比较，可以看出两种方法得到的结果基本上是一致的，这就说明了该方法可以真实地仿真Petri网模型。

　　4 结论

　　用Petri网理论建立生产系统模型，理论上可以对其性能进行求解分析，但计算是极其复杂的，因而有必要用仿真技术来完成对系统的性能分析工作。本文提出了一种应用Flexsim仿真软件，将Petri网模型转化为Flexsim仿真模型，进而对生产系统进行仿真分析的方法，并验证了该方法的有效性。这种方法操作简单，无需编写复杂的程序，对马尔科夫过程和非马尔科夫过程都可以进行模拟，并可直接对生产系统的相关数据进行统计，为系统性能分析提供依据，提高了生产系统分析效率。

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