【分　 类】 基础科学
【关 键 词】 线性回归模型；Logistic模型；灰色系统GM（1，1）模型
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正文：

 
 
 
 
 
 
数据经Excel2003软件进行处理得一元线性回归的方差分析表见表2、表3。
表2  线性回归方程的方差分析表

变差来源	平方和	自由度	均方	F值	概率
回归	904.37	1	904.37	461.00	2.33E-08
残差	15.69	8	1.96
总计	920.07	9

表3  线性回归方程的回归系数分析表

	系数	标准误差	t统计量	概率
截距	242.31	0.82	294.34	1.99E-17
X变量	3.31	0.15	21.47	2.33E-08

由表2可知，人口发展存在着极显著的线性相关， P=2.33E-08<<0.001，即回归方程极显著。由表3可知，a=242.31，b=3.31，因此回归方程为：。回归截距与回归系数极显著，我们用所求得的回归方程对人口总数进行预测是可行的。
2.2 Logistic 增长模型
进行该模型拟合的方法很多，我们这里采用微分方程求解法，即利用历史资料中三个等距离的时间段数据，来计算此模型^[9-10]。本方法因选择的历史数据不同而获得的参数大小不同，因此需要多次反复验证。由上述已知，微分方程形式为，假设三年的人口数据分别为N₀、N₁和N₂，对应的时间分别为T₀、T₁和T₂，则N₁和N₂的导数分别为：
， 或
将和代入微分式，得二元一次方程组，求两个参数r和K，从而得到Logistic方程：
，，其中r、K称为生命系数。
通过多次反复验证、拟合，最终确定Logistic 增长模型为：，经回归分析：R=0.9839，F=490.0787（α<<0.01），说明预测模型可行s。
2.3 灰色系统GM（1，1）模型
该模型预测是一种现实的和动态的分析与预测，它是将序列数据作一次累加生成后，再建立微分方程，然后再根据后验比c和小误差概率p对模型进行精度检验^[11-12]。
建立GM （1，1）模型的步骤可以概括为^[13-14]：
（1）确定任一子数据序列：x⁰(1)，x⁰(2)，…，x⁰(M)。
（2）对子数据序列作一次累加生成：x¹(1)，x¹(2)，…，x¹(M)。其中，。这个新数列与原始数列相比，随机性程度大大弱化，平稳性大大增加。
（3）将新数列的变化趋势近似地用微分方程描述：。其中，a、u为辨识参数，通过最小二乘法拟合得到：。
（4）构造数据矩阵。(3)式中Y_M为列向量，Y_M=[x⁰(2)，x⁰(3)，x⁰(4)，…，x⁰(M)]^T，B为构造数据矩阵：

其中，,（M=2，3，…，M)。
（5）求出预测模型：
本例中，根据上述第（1）步，由表1得大庆市人口的原始时间序列：
x⁰(t)={244.8，245.7，246.6，252.1，254.6，259，262.2，264.4，269.3，273.4}
由第（2）步得一次累加数据系列：
x¹(t)={244.8，490.5，737.1，989.2，1243.8，1502.8，1765，2029.4，2298.7，2572.1}
由第（4）步得：

Y_M=[245.7，246.6，252.1，254.6，259，262.2，264.4，269.3，273.4]^T
由此得：
因此得预测模型为：，其值为预测的累加值，将已知数据输入该模型，利用得到预测的人口数。

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