【分　 类】 基础科学
【关 键 词】 线性回归模型；Logistic模型；灰色系统GM（1，1）模型
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正文：
摘要：本文运用线性回归模型、Logistic增长模型和灰色系统GM（1， 1）模型，对大庆市2008～2020年人口发展规模进行了预测。结果表明，三种模型在本案例中均能取得较好的效果，而灰色系统模型的平均相对误差最小，故最终采用该预测模型，预测2010年大庆市人口数将达到284.27万人，2020年将达到325.74万人。
关键词：线性回归模型；Logistic模型；灰色系统GM（1，1）模型
 
Abstract：With linear regression methods, logistic models and grey dynamic models, this paper was dealt to predict gross population in Daqing in 2008-2020. The results showed that three models all made the good effect, but Grey Dynamic Models was better than others according to average relative error, so this models was used to predict gross population in Daqing. Prediction results showed that the gross population would reach to 2,842.7 thousand in 2010 and 3,257.4 thousand in 2020.
Key words：Linear Regression Methods；Logistic Models；Grey Dynamic Models
 
0 引言
现代生态学家在提出生态学一般规律时，常常求助于数学模型。数学模型是用来描述现实系统或其性质的一个抽象的、简化的数学结构。近年来，生态数学模型发展迅速，主要用来进行动植物种群、人口种群动态的研究^[1]，本文主要是进行人口种群的预测。
人口预测是以规划区域或单位现有人口现状为基础，并对未来人口的发展趋势提出合理的控制要求和假定条件即参数条件，获得对未来人口数据提出预报的技术或方法^[2]。建立人口预测模型，用以描述人口增长过程，通过分析对人口增长进行预测，来制定相应的人口政策以控制人口增长。
1 人口预测常用的生态数学模型
预测人口的生态数学模型有多种形式，主要有线性回归模型、人口自然增长模型、幂函数模型、马尔萨斯指数增长模型、Logistic增长模型、灰色系统GM（1，1）模型等，其适用的条件和范围各不相同。
1.1 一元线性回归模型
人口发展过程线上任一点的切线斜率基本保持不变，即各时期人口发展速度较一致，近似直线状延伸时可采用一元线性回归模型^[3]。将时间作为控制变量，人口数量作为状态变量，确定它们之间的数学模型，以控制时间来预测人口数量，其回归模型为：。
1.2 自然回归模型
人口数量在时间上的变化，具有当前变化受前期数量状况影响的特殊性质。因此可以用自然回归模型来预测其后期的数量。按最小二乘法可得出a、b自然回归系数^[4]。
1.3 幂函数模型
人口发展过程线前段时期的斜率较大，往后斜率逐渐减小时选用幂函数来预测效果较好^[4]。
1.4 指数函数模型
人口发展过程并不都是近似于直线状，有些地区的人口前一段时期内发展较慢，越往后发展速度越快，这种情况下应选用马尔萨斯的指数增长模型^[5]：。
1.5 Logistic 增长模型
此模型属于微分方程预测模型，是荷兰生物学家Verhulst为研究人口发展过程于1837年提出的^[6]。应用Logistic曲线建立的预测模型考虑到人口总数增长的有限性且提出了人口总数增长的规律：随着人口总数增长，人口增长率逐渐下降。Logistic人口模型的一般形式为：

利用计算机编程可得积分解为：
1.6 灰色系统GM（1，1）模型^[7]
全世界或一个国家的人口发展可能具有较明显的规律性，但对于某个地区来讲并不一定呈线性或简单非线性曲线显示，对于此类无规律可寻或资料不全的情况下可以用灰色系统GM（1，1）来进行预测，模型为：。
各种单一模型都有各自的优点和缺陷，因此在进行人口预测时应该考虑实际情况选择使用，并综合考虑各种模型的结论。本文以大庆市人口预测为例，利用一元线性回归模型、Logistic 增长模型和灰色系统GM（1，1）模型，结合EXCEL2003和SPSS13.0软件预测大庆市未来人口。
2 大庆市人口预测的生态数学模型
大庆市是我国最大的石油和石化基地，是黑龙江省西部地区重要的经济文化中心，1979年12月14日，由国务院批准成立，1992年12月，经黑龙江省人民政府决定将周边县划归大庆，市辖5区4县。笔者收集了1998~2007年共10年间大庆市人口的统计资料（见表1），并对未来大庆市的人口做出了预测。
表1  大庆市1998-2007年总人口

年份	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007
人口（万人）	244.8	245.7	246.6	252.1	254.6	259	262.2	264.4	269.3	273.4

2.1 一元线性回归模型^[8]
 

图1 %20大庆市1998-2007年人口数据绘制的回归直线  

回归分析预测是常用的方法之一，是将已知的数据作为变量抽样的观察结果，通过考察这些数据之间存在的数量关系，设想出表达这种关系的方程式，然后通过最小二乘法来估计方程中的参数，由此确定变量之间的数学模式。在我国，影响人口数量变化的主要因素是政策因素，文化因素，经济因素和地区差异化等因素。在这四个因素相对稳定的前提下，用Y表示人口总数，X表示时间（以年为单位，1998年为0，以此类推），由样本资料，绘制散点图及一元线性回归直线图如图1。 

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