摘要:高考对应用数学处理物理问题提出了要求,而且很多物理规律都和正余弦函数有关,利用正余弦函数的一些特性可以得到更多的物理信息。本文就利用正余弦函数的定义、图像、正余弦定理和正余弦函数的导数方面进行阐述。
关键词:正余弦函数 物理解题 导数
在《高考考试说明》中,其中考核要求中有“应用数学处理物理问题的能力”:(1)能够根据具体问题列出物理量之间的关系,进行推导和求解,并根据结果得出物理结论;(2)能运用几何图形、函数图像进行表达、分析。而正余弦函数因为其独特性,在物理解题中显得更加重要,本文针对正余弦函数的定义、图像、正余弦定理和正余弦函数的导数在物理解题中的应用,略举几例。
一、正余弦函数定义的应用
在直角三角形中,如图所示,设三边分别为、、,定义,,在为锐角时,和均大于零。高中物理涉及很多矢量,如力、速度、加速度等,并对这些矢量进行分解,就会用到正余弦函数,如力的正交分解等。
二、正弦定理和余弦定理的应用
在三角形中,角、、所对的边分别为、、,则有 (为三角形外接圆的半径),这是正弦定理;
,这是余弦定理。
下面我们利用正弦定理解答一道物理题,如图,C点为光滑转轴,绳AB能承受的最大拉力为1000N,杆AC能承受的最大压力为2000N。问A点最多能挂多重的物体?(绳、杆的自重不计)
设绳上的拉力为,杆中的弹力为,物体的重力为,对点进行受力分析,如图所示,由正弦定理有。当为时,;当时,。故不能超过
利用余弦定理可以求出已知两个力的合力,已知力和的大小和它们的夹角为,则根据余弦定理可以求得它们的合力为。
三、正余弦函数图像与性质的应用
物理题中利用正余弦函数的性质,我们可以得到很多信息。
例如某一个正弦交流电电动势的瞬时表达式为,其函数图象如图所示,利用正余弦函数的性质可以得到下面的信息:
1.交流电的周期为;
2.交流电的峰值为;;
3.在时,感应电动势最大为,也就是此时的磁通量变化率最大,说明线圈在这个位置切割磁感线,线圈运动方向和磁感线方向正好垂直;
4.从图像可知,初相角为,可以知道线圈是从中性面开始转动的。
四、正余弦函数导数的应用
正弦函数的导数是,余弦函数的导数是。
在物理中,变压器的发明使用正是利用了正余弦函数的导数的重复性。假设在变压器原线圈中有正弦交流电流,在变压器的铁芯中就会产生也是按照正弦规律变化的磁场,当这样变化的磁场穿过副线圈时,在副线圈上就会产生感应电流,产生感应电流的形式由法拉第电磁感应定律决定,即产生的电流应该是穿过副线圈的磁通量的导数,即。这样变压器产生的还是正弦交流电。所以在远距离输电中,不管交流电经过几次变压器,还是会得到完好的正弦交流电。这样才使得正弦交流电得以传到远方,得以广泛的应用。
在解物理题时,适当的应用正余弦函数的导数会得到意想不到的信息。例如,下图是某弹簧振子做简谐运动的振动图像,也就是其位移时间图像,其表达式为。
它的导数为,其实就是弹簧振子的速度-时间图像,速度的表达式就是;速度的导数应该为加速度的表达式即。分别根据位移表达式、速度表达式、加速度表达式可以求出在任一时刻的位移、速度和加速度。如在时,将分别带入上述表达式,可以得到,它的位移为,速度为,加速度为。
如果知道弹簧振子的质量也可以根据求出它的劲度系数。
综上所述,在解答物理问题时,适当应用正余弦函数的特点,会有事半功倍。