摘要：高考对应用数学处理物理问题提出了要求，而且很多物理规律都和正余弦函数有关，利用正余弦函数的一些特性可以得到更多的物理信息。本文就利用正余弦函数的定义、图像、正余弦定理和正余弦函数的导数方面进行阐述。

　　关键词：正余弦函数 物理解题 导数

　　在《高考考试说明》中，其中考核要求中有“应用数学处理物理问题的能力”：(1)能够根据具体问题列出物理量之间的关系，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论;(2)能运用几何图形、函数图像进行表达、分析。而正余弦函数因为其独特性，在物理解题中显得更加重要，本文针对正余弦函数的定义、图像、正余弦定理和正余弦函数的导数在物理解题中的应用，略举几例。

一、正余弦函数定义的应用

在直角三角形中，如图所示，设三边分别为、、，定义，，在为锐角时，和均大于零。高中物理涉及很多矢量，如力、速度、加速度等，并对这些矢量进行分解，就会用到正余弦函数，如力的正交分解等。

　　二、正弦定理和余弦定理的应用

在三角形中，角、、所对的边分别为、、，则有 (为三角形外接圆的半径),这是正弦定理;

,这是余弦定理。

　　下面我们利用正弦定理解答一道物理题，如图，C点为光滑转轴，绳AB能承受的最大拉力为1000N，杆AC能承受的最大压力为2000N。问A点最多能挂多重的物体?(绳、杆的自重不计)

设绳上的拉力为,杆中的弹力为,物体的重力为,对点进行受力分析，如图所示，由正弦定理有。当为时，;当时，。故不能超过

利用余弦定理可以求出已知两个力的合力，已知力和的大小和它们的夹角为，则根据余弦定理可以求得它们的合力为。

　　三、正余弦函数图像与性质的应用

　　物理题中利用正余弦函数的性质，我们可以得到很多信息。

例如某一个正弦交流电电动势的瞬时表达式为，其函数图象如图所示，利用正余弦函数的性质可以得到下面的信息：

1.交流电的周期为;

2.交流电的峰值为;;

3.在时，感应电动势最大为，也就是此时的磁通量变化率最大，说明线圈在这个位置切割磁感线，线圈运动方向和磁感线方向正好垂直;

4.从图像可知，初相角为，可以知道线圈是从中性面开始转动的。

　　四、正余弦函数导数的应用

正弦函数的导数是，余弦函数的导数是。

在物理中，变压器的发明使用正是利用了正余弦函数的导数的重复性。假设在变压器原线圈中有正弦交流电流，在变压器的铁芯中就会产生也是按照正弦规律变化的磁场，当这样变化的磁场穿过副线圈时，在副线圈上就会产生感应电流，产生感应电流的形式由法拉第电磁感应定律决定，即产生的电流应该是穿过副线圈的磁通量的导数，即。这样变压器产生的还是正弦交流电。所以在远距离输电中，不管交流电经过几次变压器，还是会得到完好的正弦交流电。这样才使得正弦交流电得以传到远方，得以广泛的应用。

在解物理题时，适当的应用正余弦函数的导数会得到意想不到的信息。例如，下图是某弹簧振子做简谐运动的振动图像，也就是其位移时间图像，其表达式为。

它的导数为，其实就是弹簧振子的速度-时间图像，速度的表达式就是;速度的导数应该为加速度的表达式即。分别根据位移表达式、速度表达式、加速度表达式可以求出在任一时刻的位移、速度和加速度。如在时，将分别带入上述表达式，可以得到，它的位移为，速度为，加速度为。

如果知道弹簧振子的质量也可以根据求出它的劲度系数。

　　综上所述，在解答物理问题时，适当应用正余弦函数的特点，会有事半功倍。