摘要：本文在考虑能源的消费具有二重性基础上，建立能源消费的经济增长模型。在此模型中，能源要素既被纳入生产函数，又被纳入效用函数，讨论了用于生产、消费的能源的最优配置条件及资本折旧率、效用贴现率对经济均衡点的资本存量的影响。
关键词：能源消费，经济增长，二重性，模型
Abstract： The economic growth model which considers this dual character of the energy-consuming is set up. In which, not only introduces energy into the production function, but also introduces energy into individual utility. In addition, we discussed the optimal configuration condition of the energy for both production and the consumption. Then it is discussed how the influence take place of the depreciation rate of capital and the discount rate of utility upon the stock of capital in the equilibrium state.
Keywords: energy-consuming, economic growth , the dual character, model
中图分类号：F061. 2

1引言
70年代石油危机后，许多经济学家开始关注能源在经济增长中的作用。Rashe和Tatom(1977年) 首次将能源使用引入Cobb-Douglas 生产函数，他们力图寻求能源利用和经济增长之间更符合实际过程的基本规律。经济学家们从不同的角度分析能源约束下经济增长问题，讨论不同经济要素对经济增长的贡献和影响。除了选择不同的经济增长模型，我们主要把不同的生产要素纳入生产函数进行分析或者把除普通消费之外的其他经济要素纳入效用函数进行分析，现有文献一般把所考虑的经济要素纳入生产函数，也有少数纳入效用函数。本文通过对能源消费二重性的分析，建立了考虑能源消费二重性的经济增长模型。
2能源约束下的新古典经济增长模型
为讨论方便，假定劳动力为常数并将其标准化为1，设分别为时刻国民经济系统的人均产出、人均资本存量、人均消费，设时刻人均可使用能源总量为常数，，分别为时刻用于生产及消费的人均能源量，有。
(1) 生产函数
设人均生产函数为古典生产函数，即为凹的一阶齐次、二阶可微函数。 即满足，进一步设资本和能源为生产的必要要素，即若，则；若，则有。不同生产要素间可以相互替代，满足，。
(2) 资本积累
考虑折旧，设固定资产折旧率为常数。则人
均社会经济预算约束。
(3) 效用函数
设代表性消费者的效用函数为凹的、非降的、边际效用递减的二阶连续可微函数，即满足。设普通消费和能源消费可相互替代， 即满足。 
(4) 消费效用最大化
设不同时刻效用贴现率为常数，则无限时域下经贴现后消费社会总效用有以下动态优化问题： 


其中为常数，初始资本存量给定。
3动态最优化
上述优化问题的Hamilton 函数为：

式中为时刻资本的影子价格。 该问题的最优性条件为：
   (3-1)
    为考虑均衡状态经济特征，令，得均衡时经济的动力系统。设均衡点为有：
  (3-2)
由，由式(3-2)有。
此式定义了资本存量为均衡时用于生产的能源量的函数，即。
利用隐函数求导方法有：，由式(3-2)有：及
。                                     
上式表明普通消费为的增函数。这是因为用于生产的能源量的增加会使经济产出增加，从而导致消费增加。由以上讨论结合约束条件，则式(3-1)变为：  
  (3-3)
 上式左边为用于生产的能源的边际成本，记为,右边为用于生产的能源的边际生产率，记为。
由于假设生产函数是严格凹的，这一假设等价于其Hession 矩阵是负定的，即：是负定的，故。进而，对式(3-3)两边分别关于求导得：
 (3-4)  
对方程组，分别关于求偏导数，得如下线性方程组：

由于假设效用函数是严格凹的，这一假设等价于其Hession矩阵，即是负定，则，从而可知：。
由克莱姆法则及生产函数和效用函数的相关假设可得：
 (3-5)                     
4动力系统
根据动力系统：和
 可得：
 (3-6)
把上述动力系统在均衡点线性展开得：，其雅可比行列式，可知均衡点为鞍点均衡，且均衡点唯一。图3-1所示，粗线所示路径为鞍点均衡路径。

图3-1 相图
5 参数对系统均衡点的影响
为了考虑参数对系统的状态变量及协状态变量的影响， 由隐函数求导定理，对前述动力系统分别关于参数求偏导，得以下线性方程组：

由克莱姆法则及前面各式可得：

6 结论
 (1) 式(3-1)表明，时刻普通消费的边际效用等于该时刻资本的影子价格；时刻用于消费的能源的边际效用等于同时刻用于生产的能源的边际产出与同期资本影子价格的乘积；时刻资本影子价格的变化率等于贴现率与资本折旧率之和减去时刻资本的边际产出。
式(3-2) (3-4) (3-5) (3-6)表明用于生产的能源量的增加会使经济产出增加，从而导致消费增加；为的单调增函数，而为的单调减函数；当资本存量递增时，普通消费减少，生产用能源量增加，同期的普通消费的边际效用是递减的；资本影子价格的提高会使普通消费减少，使生产用能源量增加。
 (2)当人口保持不变时，系统有唯一的均衡点，且为鞍点均衡。进入生产领域及直接进入消费领域的能源量的最优配置的必要条件是用于生产的能源的边际生产率等于其边际成本或者说等于用于消费的能源的边际效用。资本折旧率对均衡点的资本存量的影响不确定，但对资本影子价格有负面影响；贴现率对均衡点的资本存量有正面影响，但对资本影子价格有负面影响。
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