代换法是中学数学中重要的数学方法之一，是众多数学方法中易于掌握而行之效的方法。在解决某些较难的题特别是数学竞赛题中，若能巧施此法，则能大大提高解题速度，达到事半功倍的效果。下面通过几道希望杯赛题，说明三角代换、和差代换、均值代换、配凑代换、整体代换、增量代换在解题中的功效。 三角代换 利用题设中变量的取值范围，恰当运用三角函数进行代换，有些量采用三角函数代换后，可以充分利用三角函数之间的特有关系，把一个较难的问题简单化或者常规化，问题得以顺利解决。

例1:若，求的取值范围。

　　(第20届“希望杯”全国数学邀请赛)

分析：考虑到给出的条件等式左边为两非负数之和，右边为常数4可转化为1，利用的关系，应用三角知识来解题。

解：因为，所以可设

则 ,

故

因此，当时, 有最小值9，当时, 有最大值17，即的取值范围为

三角代换应用于去根号或变换成三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行代换，把代数问题转化为三角知识去解题。 和差代换 对于任意实数，总存在实数，使得。

例2: 实数满足，求的值域。

　　(第6届“希望杯”全国数学邀请赛)

解：设，代入已知式得,即

所以

故值域为

本题在解题过程中使用了和差代换，利用“任一实数的平方为非负数”将等式关系中的其中一个量转化为与常数的关系，简洁而有效，大大提高了解题的准确性与速度。 均值代换 若,则可设,其中

例3:若,并且，求的取值范围.

　　(第9届“希望杯”全国数学邀请赛)

分析：我们注意到都是大于零小于1的量，因此可知，又之和为2，可考虑均值代换。

解：因为，所以，，，因此

。

因为，所以又可设，，，其中。

则有

故的取值范围为

　　对于多个变量之和为定值的代数问题，我们通常考虑用均值代换，注意新旧变量取值范围的一致性。

　　四、配凑代换

例4：已知，求

　　(第10届“希望杯”全国数学邀请赛)

分析：这是含有未知函数的等式，比较抽象。由函数的定义可知，在函数的定义域和对应法则不变的条件下，自变量变换字母，以至变换为其他字母的代数式，对函数本身并无影响，这类问题正是利用这一性质求解的。

解：因为，即

所以

　　配凑法指的是用配方、凑项的手段凑出函数的方法，其应用有较大的局限性。

　　五、整体代换

　　将要证明的整个变量式代换为一个新变元

例5:若实数适合方程,求代数式的取值范围。(第9届“希望杯”全国数学邀请赛)

解: 令，则

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