【分　 类】 教育科学
【关 键 词】 数学思想 等价转化
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正文：

A.      B.       C.         D.
4. 如果复数z满足|z＋ｉ|＋|z－ｉ|＝2，那么|z＋ｉ＋1|的最小值为______。
A.  1     B.      C.  2     D.
5. 设椭圆 ＋ ＝1 （a>b>0）的半焦距为c，直线l过(0,a)和(b,0)，已知原点到l的距离等于 c，则椭圆的离心率为_____。
A.       B.        C.         D.
6. 已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，SA＝5，SB＝4，SC＝3，D为AB的中点，E为AC的中点，则四棱锥S-BCED的体积为_____。
A.      B. 10      C.        D.
【简解】1小题：由已知转化为周期为2,所以f(7.5)＝f(-0.5)＝－f(0.5)，选B；
2小题：设f(x)＝y，由互为反函数的值域与定义域的关系，选C；
3小题：由mp＋nq≤ ＋ 容易求解，选A；
4小题：由复数模几何意义利用数形结合法求解，选A；
5小题：ab＝ × ，变形为12e －31e ＋7＝0，再解出e，选B；
6小题：由S ＝ S 和三棱椎的等体积转化容易求，选A。
 
Ⅱ、示范性题组：
例1. 若x、y、z∈R 且x＋y＋z＝1，求( －1)( －1)( －1)的最小值。
【分析】由已知x＋y＋z＝1而联想到，只有将所求式变形为含代数式x＋y＋z，或者运用均值不等式后含xyz的形式。所以，关键是将所求式进行合理的变形，即等价转化。
【解】( －1)( －1)( －1)＝ （1－x）(1－y)(1－z)
＝ (1－x－y－z＋xy＋yz＋zx－xyz)＝ (xy＋yz＋zx－xyz)
＝ ＋ ＋ －1≥3 －1＝ －1≥ －1＝9
【注】对所求式进行等价变换：先通分，再整理分子，最后拆分。将问题转化为求 ＋ ＋ 的最小值，则不难由平均值不等式而进行解决。此题属于代数恒等变形题型，即代数式在形变中保持值不变。
例2. 设x、y∈R且3x ＋2y ＝6x，求x ＋y 的范围。
【分析】 设k＝x ＋y ，再代入消去y，转化为关于x的方程有实数解时求参数k范围的问题。其中要注意隐含条件，即x的范围。
【解】由6x－3x ＝2y ≥0得0≤x≤2。
设k＝x ＋y ，则y ＝k－x ，代入已知等式得：x －6x＋2k＝0  ，
即k＝－ x ＋3x，其对称轴为x＝3。
由0≤x≤2得k∈[0,4]。
所以x ＋y 的范围是：0≤x ＋y ≤4。
【另解】 数形结合法（转化为解析几何问题）：
由3x ＋2y ＝6x得(x－1) ＋ ＝1，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点。x ＋y 的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方。由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点。设圆方程为x ＋y ＝k，代入椭圆中消y得x －6x＋2k＝0。由判别式△＝36－8k＝0得k＝4,所以x ＋y 的范围是：0≤x ＋y ≤4。
【再解】 三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）：
由3x ＋2y ＝6x得(x－1) ＋ ＝1，设 ，则
x ＋y ＝1＋2cosα＋cos α＋ sin α＝1＋ ＋2cosα－ cos α
＝－ cos α＋2cosα＋ ∈[0,4]
所以x ＋y 的范围是：0≤x ＋y ≤4。
【注】本题运用多种方法进行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识点，有助于提高发散思维能力。此题还可以利用均值换元法进行解答。各种方法的运用，分别将代数问题转化为了其它问题，属于问题转换题型。
 
Ⅲ、巩固性题组：
1. 正方形ABCD与正方形ABEF成90°的二面角，则AC与BF所成的角为_____。
A.  45°     B.  60°     C.  30°     D.  90°
2. 函数f(x)＝|lgx|，若0<a<b时有f(a)>f(b)，则下列各式中成立的是_____。
A.  ab≤1    B.  ab<1     C.  ab>1     D.  a>1且b>1
3. [ － ]  (n∈N)的值为______。
A.     B.      C.  0      D.  1
4. (a＋b＋c) 展开式的项数是_____。
A.  11     B.  66     C.  132    D.  3
5. 已知长方体ABCD-A’B’C’D’中，AA’＝AD＝1，AB＝ ，则顶点A到截面A’BD的距离是_______。
6. 已知点M(3cosx，3sinx)、N(4cosy，4siny)，则|MN|的最大值为_________。
7. 函数y＝ ＋ 的值域是____________。
8. 不等式log （x ＋x＋3）>log (x＋2)的解是____________。
 
三、结束语
总之，等价转化思想是中学数学的重要思想方法之一，它的应用及其广泛，由于篇幅问题，在此不再多加列举，在教学过程中应注重等价转思想的渗透，这对培养学生的能力，帮助学生系统掌握知识具有重大的意义。只有掌握一定的数学思想才能真正了解数学，才能在学习数学的过程中获得更深刻的认识。特别是对职高数学教育而言，在数学思想乃至数学教育被忽略的情况下，加强对学生数学思想的教育势在必行，这是素质教育对数学教育的要求，也是社会对技术型人才思想深度的要求。数学是来源于生活的，在解决实际问题中利润最大或花费最少等问题的时候，通常先建立函数关系式，转化为研究函数的最值问题。运用等价转化思想解决数学问题，没有固定的模式。等价转化法是以学生熟练掌握基础知识、基本技能和基本方法，深刻理解定理公式和法则为前提，教师在平时教学中就要注意渗透各种思想方法，引导学生在做题的时候仔细观察比较，对典型例题多加总结和提炼，注意事物之间的联系。在等价转化时要注意转化过程前后的充要性，合理地设计好转化的途径和方法，避免生搬硬套题型。
 

参考文献
[1] 谢全苗. 转化思想在数学解题中的应用[J]. 中学数学杂志 , 2006,(11) .
[2] 潘永翔,王国伟. 等价转化思想在中学数学解题中的应用[J]. 中学数学杂志 , 2002,(05) .
[3] 邵海琴,刘发艺. 应用转化思想应注意的问题[J]. 天水师范学院学报 , 2002,(02) .
[4] 杨康义. 运用转化思想求递推数列的通项[J]. 中学生数理化(高一版) , 2007,(12) .
[5] 邓万丽. 浅谈新课标高中数学教学方法改进[J]. 科技资讯 , 2006,(28) .
 

 
 

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