高一新生数学入门难，这是不争的事实。通过多年的教学实践，我们发现，主要原因是学生认知过程的心理操作序列性与数学知识结构的程序性的要求之间存在较大差距。

　　学习过程被看作是学生的认知过程，它包括内部心理活动的操作序列性,这种操作序列性取决于教学目标的层级性,教学目标是一种阶梯式的认知序列目标,学生的学习取决于这一认知序列目标表现出一系列有序的认知操作的过程性与阶段性。由于我们把学习过程定位于学生的认知过程,那么学习过程就形成一种结构，这个结构的每一环节也必须遵从认知操作序列性规律。认知过程具有程序性,学习过程也应具有程序性。这样,学习结构每一环节的程序性就与学生的认知过程的序列性相关联。学习结构每一环节的螺旋性就与学生认知过程的反复性相关联。通过学习结构的程序性和螺旋性与学生学习过程的认知序列性与反复性,学生的认知发展得到不断巩固和强化。

　　教学目标便在这种学生认知发展的不断巩固和强化中得以有效实现。因此,学生学习依存于认知过程,教学结构也相应地依存于认知过程,认知过程具有序列性,教学结构也具有序列性,只有学生学习认知过程的操作序列性与教学过程设计中数学知识结构的程序性通过认知规律建立起了同构关系，学习才能被认为真正发生了。

　　学生学习认知过程的心理操作序列性与教师教学过程的知识结构程序性要协调一致，才能获得教学的最大效益。学生学习的疑难就在于学生心理操作序列性与数学起始课的知识结构序列性的不能同步，进而同一，这两者间出现了差距。本文简要考察高一新生的数学入门学习的这种差距来自何处：

　　1.数学语言由生活化与描述化过渡到形式化与精确化

　　初中阶段，教材叙述文字语言，教师授课口语，学生口头的与作业所用的语言都偏重于生活化的自然语言，或者至少可以说使用的是不严格的数学语言，是一种对数学现象与数学关系的描述性的语言。例如，在《数学》八年级(上)对函数的定义是：“一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数”。[[1]]这就明显地是一种定性的，描述性的语言，而非精确的定量化的，形式化的语言。

进入高中首要的一步是数学语言的形式化与精确化，集合成为由描述化语言到形式化语言的基础性工具。例如，高中《数学》必修①是这样定义函数的：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的f(x)和它对应，那么就称f: AB为集合A到集合B的一个函数，记作

　　y =f(x), x∈A。

　　其中，x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)︱x∈A}叫做函数的值域。[[2]]字里行间若抽去母语的文字，就是形式化的数学语言了。

　　由生活化与描述化的语言过渡到形式化与精确化的语言，它是数学知识发展的内在诉求,也是通过数学教育促使学生思维能力与精神品格发展的物质性动力，学生只有适应这种数学知识的内在发展，自己的内在精神品格才能得到相应的提高。形式化定义中有严格的逻辑形式与逻辑结构，这是数学知识结构的骨架，是学生学习高中数学必须要过的第一关。

　　这就是高一主体性课程“函数”，它已经将初中的那种自然化的描述改进成了精确化的表达，在这种精确化的表达之下，就可以建立起代数学的逻辑形式与逻辑结构，也就为代数的形式化奠定了基础。

　　高一起始课的数学知识结构程序性的这种要求，已经不再是具体事物的数量关系“拟真化”的表层的要求，而是提出了脱离具体事物特点的形式化的抽象的要求。数学的形式化要求是数学的内在要求，它是建立在对具体数量关系抽象的基础之上的，据此方可以建立数学的逻辑结构，这一点至关重要，它是理解数学本质的前提，是今后数学解题的逻辑要求。这些，都是对高中学生的认知过程心理操作序列的要求，就我们的经验和其他老师的研究发现，高一新生对如此的要求还存在着很大的差距。

　　据张文琴，许文超的调查发现：对学生而言“学数学”的最直接表现就是做数学题，调查表明，对于数学解题的感受学生的差别较大，从十分热爱到十分厌恶、惧怕的都有。有12%的同学“想到数学题就头疼，不愿动手”;创造性解题后的快乐“很少体验”的占64%，根本“没有体验过”创造性解题后的快乐的占12%，有56%的同学更多地考虑解题的功利目的，“不感兴趣，但为了升学还是比较努力”。[[3]]

　　数学解题是建立在由概念提供的逻辑结构(数学性质或定理)的基础之上，学生惧怕解题并非是害怕数学题本身，而是他的奠基于数学概念之上的心理逻辑结构没有建立起来。无法进行认知过程的心理操作。

　　2.数学运算从(拟)数值处理过渡到符号化处理

　　初中学生的数学运算主要集中在数值运算，因为有关式的运算(如：整式的加、减和乘法运算可以理解成广义的数的运算)没有脱离数的运算律，最多只能说是拟数值运算。因式分解运算是整式的恒等变形，已经是真正的式的结构运算了，但是，义务教育新课程对因式分解的要求已经降低了很多，初中的这点经历不足以支撑高一的课程的符号运算要求。高中数学运算由符号化导致了运算形式化与结构化，即使是数值的处理，也不再是为计算而计算，而是要利用数学的有关概念的结构与性质，由此形成推理的依据，并在处理数量问题中利用这种依据，要求学生要达到熟练的程度。

例如，比较与的大小。从表面上看上似乎是数值运算，实际上已经是形式化了的指数函数的结构与性质的运算了，它要将具体的数值抽象化成一般的指数函数，找到(a≠0)这一比较的标准，再根据讨论指数函数底数a>1，还是0=1①，<=1②，由①、②可以得到>，从而解决了问题。

　　从这个简单的例子，可以看出，高中的计算并不是简单地处理数值的计算，而每一步都蕴含中由数学知识的概念所产生的性质在进行逻辑推理。初中数学的要求没有达到这一步，刚进高一，学生很难有这样的体验，就是说，认知过程的心理操作序列性达不到数学知识结构程序性要求，从而，学生的疑难就在所难免。

　　3.数学思维由形象思维过渡到抽象思维

　　初中阶段数学对学生的思维层次要求较低，主要是由具体的形象思维向经验型的抽象思维过渡;高中的要求陡然拔高，它是由经验型抽象思维到理论型的抽象思维过渡，到高二基本上处于理论型抽象思维向初步辩证型思维过渡阶段。初中升级到高中，在函数部分，函数的定义及其相应的定义域与值域的精确的数量描述，特别是函数的单调性、奇偶性的定义的表达完全是数学实质性的理性刻画，在这些所形成的“抽象函数的背景，没有客观实物作为它们的支架了，解决问题基本上是靠代数逻辑推理。而这种推理较之学生熟识的平面几何逻辑推理又失去了图形的支持，这就对学生的抽象思维、理性思维、形式化的处理代数表达，提出了近乎苛刻的要求。在解决问题时，学生从依据函数的概念、性质等所需要的整个知识序列，在认识过程的心理序列中，高一新生由经验所达到的心理能力都远远地不能适应这一需要，这就使他们产生了无依无靠的感觉。

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