摘 要:文章给出了当是解析半群的无穷小生成元,是可闭化算子时,生成解析半群的一充分条件,得到解析半群新的扰动定理,从而推广了相关结论.

　　关键词:解析半群;无穷小生成元;可闭化算子;扰动

　　1 引言

在解析半群的扰动理论中,引理给出生成解析半群生成元的条件,其中要求线性算子为解析半群的无穷小生成元,为闭算子.本文在此基础上,改变引理条件,即将引理中的是闭算子换为是可闭化算子,得到解析半群一新的扰动定理,从而丰富了解析半群的扰动定理.

　　2 主要定义和引理

设为空间,表示中一切有界线性算子全体构成的空间.在很多情形下,常会碰到这样的线性算子,它本身并不是闭线性算子.但是,存在一个闭线性算子,当时,,由于此类算子的重要性,下面引出其定义:

定义设是线性算子,如果存在闭线性算子,使得,

,,即 , 则称是可闭化算子,为的闭化算子.

引理设是线性算子,则是可闭化线性算子的充要条件是:对于任给的序列 ,只要 ,,则必有:.

显然,可闭算子可以通过扩展算子的定义域使其成为闭化算子.此时,对于任意,

存在,当,时,总有：.

引理设是一致有界的半群,为其无穷小生成元,,则下面命题等价:

能延拓成一扇形上的解析半群,且在的每一个闭子扇形上一致有界.

存在常数,对每一,

　　__________________________

　　收稿日期:

　　基金项目:陕西省教育厅专项科研计划项目(08JK497).

　　作者简介:杨延涛(1982-),男,陕西宜川人,延安大学硕士研究生,研究方向:应用泛函分析.

　　赵华新(1964-),男,延安大学数学与计算机学院教授.

存在，及

,,

对 是可微的,及存在常数,,

引理设为解析半群的无穷小生成元,为闭线性算子,且,则存在,若则是解析半群的无穷小生成元.

　　3 主要结果

定理4 设为解析半群的无穷小生成元,为可闭化线性算子,,存在常数 , ,

,(1)

则 是解析半群的无穷小生成元.

证明: (I) 假设当 时,因为解析半群,由引理2可知:

存在常数及,使得:

,且 ，

因此,对 ,, 以及 有:

　　又因:

为可闭化线性算子,则存在一个闭化算子, 当时,,且由(1)式：,

　　可得:

,

当时,, 再取充分大,可使:

因此存在,又因 ,故存在, 再利用

　　可知:

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