内容摘要:应用基尔霍夫定律建立基于拓扑图的行星轮系数学模型——回路方程组、切割方程组来分析、解决行星轮系运动学的有关问题。

　　关 键 词: 拓扑图;基尔霍夫定律;行星轮系;运动特性。

　　1、轮系拓扑图

　　根据行星轮系的结构特点，我们可将如图1所示行星轮系的结构图按构件功能，分为太阳轮、行星轮、定轴齿轮、系杆(转臂)、转轴等。以实心点表示齿轮，小方框表示系杆，省略表示转轴。对于构件之间的联系，以粗实线表示齿轮副，细实线表示系杆与行星齿轮构成回转副，虚线表示系杆与齿轮固定联结。为了简便地表达轮系，系杆在太阳轮轴线上形成的回转副省略。这样就形成了行星轮系拓扑图，如图2所示。

　　图1：轮系结构图 图2：轮系拓扑图

　　2、轮系和基尔霍夫定律的关系

　　我们将行星轮系转化为定轴轮系来分析。现以一个典型的2K—H行星轮系为例，后面的证明和分析均以此为例。轮系结构图和拓扑图如3、图4所示。

　　图3：轮系结构图 图4：轮系拓扑图

　　根据相对运动原理，求得机构中每个构件相对于转臂H的角速度，为:

=- =-

=- =-=0

　　相对应的角速度比应为:

= =

　　由此可以得知，行星齿轮传动中任意构件1和2相对于构件H运动时的角速度之比为:

== ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅⑴

　　同理，构件1和H相对于构件2运动的角速度之比:

== ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅⑵

　　将式(1)、式(2)等号两边相加后，则可得到:

+=1

即 +=1

化简可得：++=0 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅⑶

同理，可得:++=0 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅⑷

　　由图4可以看出，该拓扑图有两个基本回路，分别为“2—1—H”和“2—3—H”。在这两个回路中它们角速度的变化值满足了式(3)、式(4)，即在回路中角速度的变化值为零。这刚好对应基尔霍夫电压定理，即：对电路的任一回路，在任一时刻，沿着该回路的所有支路电压降的代数和为零。由此我们找到行星轮系(电路)角速度(电压)相对应的关系。

　　若不考虑摩擦力和传动效率，在行星齿轮传动转矩平衡时，作用在行星轮系三个基本构件上的外转矩代数和为零，且它们所传递的功率代数和也为零。对于图4，齿轮1，齿轮3作为系统的输入，系杆H为系统的输出，则：

++=0

++=0

　　即中间轮2(可看作电路中的输入、输出分界节点)力矩的代数和为0。对于行星轮系中其余独立构件：输入构件，外界的输入就等于该构件的输出;输出构件，该构件所有的输入就是构件的输出。这刚好对应基尔霍夫电流定理，即：任一电路中，在任一时刻，对于一个节点，流进或流出该节点的所有支路电流的代数和为零。独立构件和中间轮都可以看成一节点。

　　3、运用电路理论分析轮系运动特性

　　3.1构建基于拓扑图电路理论

　　一个电网络是一个有向图G，根据电路理论可知，一个有向图G应满足: 基尔霍夫电压定律。

即：=0 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅⑸

式中，是表示各边电压的矢量，叫做G的支路电压矢量。是回路——边关联矩阵。

　　3.2 建立行星轮系数学模型

一有向图G的边关联矩阵(回路矩阵)，用符号来表示，它是一p×b阶矩阵，这里p是G中的回路数，设=〔〕，则: =1(如果边在回路i中，同时回路和边的方向一致);=一1(如果边在回路i中，同时回路和边的方向相反);=O(如果边不在回路中)。

是基尔霍夫电压方程的系数矩阵，在矩阵不包括仅改变方向得到的回路，其原因是改变方向仅仅改变中某一行的符号。

　　图图5：轮系传动拓扑图

基于拓扑图研究轮系运动特性，赋予线的权值为相邻构件角速度差值矢量，拓扑图中箭头方向视为行星轮系机构运动传递方向。取拓扑图中各线权值为箭头起始点角速度矢量减去终点角速度矢量，形成轮系传动拓扑图，如图5所示。由传动拓扑图写出的线权值数学表达式，称为传动矩阵。 根据相对角速度和电路理论中的电压对应的关系，我们把轮系传动拓扑图看做一棵树，处于同轴位置的齿轮和系杆的连接称为这棵树的连支，规定连支的方向为传动回路的方向。由基尔霍夫电压定律可知，与式(5)相对应的相对角速度矢量可表示为：

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