摘要：

　　有限时间稳定不同于通常意义下的稳定(这里指Lyapunov稳定，渐进稳定等)，主要表现在两个方面:首先，它研究的是系统在有限的时间区间内的状态行为，因此，要研究一个系统是否为有限时间稳定，需要预先给出要考察的时间区间。而通常意义下的稳定研究的是系统在无穷时间区间内的状态行为。其次，研究有限时间稳定需要对系统的状态轨线预先给定界限(通常是依据实际的应用要求给定的)，不能单纯的讨论一个系统是否为有限时间稳定。 而通常意义下的稳定虽然也要求系统的状态轨线有界，但这个界限不是预先给定的固定值。

　　关键词： Lyapunov稳定性 有限时间稳定 控制器设计

　　1，经典意义下的系统稳定性

　　在控制系统的分析与设计中,系统的稳定性一向是系统理论首先要考虑、解决的问题。无论是调节器理论、观测器理论还是滤波预测，都不可避免地要遇到系统稳定性问题，控制领域内的绝大部分技术几乎都与稳定性有关。由于不稳定的系统实际上是不能付之使用的，所以在控制工程和控制理论中，稳定性问题一直是一个最基本和最重要的问题。系统的稳定性是系统本身的结构特性，就是指系统受到小的扰动作用消失后，经过一段过渡过程后被调量与规定量之间的偏差值的收敛性。随着控制理论与工程所涉及的领域由线性定常系统扩展为时变系统和非时变系统，稳定性分析的复杂程度也在急剧地增长。直到目前，虽然有许多判据可应用于线性定常系统或其他各自相应类型问题中，以判断系统稳定情况，但能同时有效地适用于线性、非线性、定常、时变等各类系统的方法，则是俄国数学家李亚普诺夫在19世纪所提出的方法。李亚普诺夫稳定性理论是稳定性分析、应用与研究的最重要基础。Lyapunov稳定性概念如下：

　　给定一个系统

该系统的平衡点，对这个系统来说，如果给定一个，存在一个(一般来说，这个与以及有关)，对于所有，满足：

那么，则认为这个系统是Lyapunov稳定的。其中，为欧氏范数，它表示欧氏空间中两点的距离：

　　2，有限时间稳定控制问题的提出

　　人们常常关心的是一个系统的Lyapunov稳定、渐近稳定等稳定性行为，其中以渐近稳定研究的最多。通常情况下，渐近稳定能够满足实际工程的要求。但是渐近稳定刻画的是一个系统的稳态性能，它并不能反映系统的暂态性能，所以有时候也会存在一个渐近稳定的系统，具有很坏的暂态性能，因而在工程中造成很坏的影响，甚至根本无法应用。在实际工程中，对于那些工作时间短暂的系统(例如导弹系统、通信网络系统、机器人操控系统等)，人们除了对其稳定性(通常是Lyapunov意义下的)感兴趣外，更关心的常常是系统应满足一定的暂态性能要求(例如满足系统轨线对于平衡点的一定偏离范围的要求)。为了研究系统的暂态性能，Peter Dorato于1961年提出了短时间稳定的概念，也就是后来所谓的有限时间稳定的概念，并得到了较为广泛的研究。

　　有限时间稳定是人们为了研究系统的暂态性能而提出的与通常意义下稳定截然不同的一个稳定性概念。所谓有限时间稳定，就是指在一个有限的时间区间内，系统的状态轨线始终保持在预先给定的界限内。下面通过把它与其他的一些稳定性概念作比较以加深对此概念的理解：

　　(1)它不同于通常意义下的稳定(这里指Lyapunov稳定，渐进稳定等)，主要表现在两个方面:首先，它研究的是系统在有限的时间区间内的状态行为，因此，要研究一个系统是否为有限时间稳定，需要预先给出要考察的时间区间。而通常意义下的稳定研究的是系统在无穷时间区间内的状态行为。其次，研究有限时间稳定需要对系统的状态轨线预先给定界限(通常是依据实际的应用要求给定的)，不能单纯的讨论一个系统是否为有限时间稳定。 而通常意义下的稳定虽然也要求系统的状态轨线有界，但这个界限不是预先给定的固定值。

　　(2)有限时间稳定与实际稳定的相同之处是对系统状态轨线都有预先给定的界限，不同之处是考查的时间范围不同，后者考查的是系统在无限时间区间内的状态有界行为。

　　(3)这里的有限时间稳定，主要适用于那些工作时间比较短暂、系统状态偏离平衡点(即超调量)不能过大的领域，例如导弹系统、机器人操控、通信网络系统等。

　　3，有限时间稳定发展状况

　　1953年,有限时间稳定(Finite-time stability)这个概念首先由Kamenkov提出，其文章发表于俄国期刊上，PPM(应用数学与机械学杂志)。随后不久，类似的其它文章也出现在这个期刊上，例如由Lebedev在1954年发表的《在有限时间区间内的稳定性问题》 、 《在给定区间上的运动稳定》 ，由Chzhan-Sy-In在1959年发表的文章《有限时间内的运动稳定性》 、 《系统的微分方程的解的估计，摄动的积聚以及在有限时间内运动的稳定性》 。早期的关于有限时间稳定的文章是由俄国人写的，涉及了线性系统以及非线性系统。

　　1961年的时候，出现了一些研究线性时变系统的有限时间稳定性的文章，比如Dorato写的《线性时变系统的短时间稳定Ⅰ》 、《线性时变系统的短时间稳定Ⅱ》 、《短时间稳定》 ，这三篇文章都使用了“短时间稳定”这个概念，“短时间稳定”这个概念与“有限时间稳定”实质上是一样的，只不过后来更常用的是“有限时间稳定”这个词。同样在1961年，概念“实用稳定性”在LaSalle和Lefschetz写的书《稳定性与Lyapunov直接法》出现。“有限时间稳定”、“实用稳定性”这两个概念都要求在有限时间内是有界的，只不过两者研究的时间区间的长短稍有不同。

　　1965年，Weiss和Infante发表了全面分析非线性系统有限时间稳定性的文章，提出了“有限时间收缩稳定性”的概念。随后不久，两人更进一步研究了非线性系统在有摄动情况下的有限时间稳定，这导致了一个新的概念“有限时间有界输入有界输出(BIBO)稳定性”(finite-time BIBO stability)的产生，这一概念演变成现在的“有限时间有界稳定(FTB)”(finite-time bounded stability)。Michel和Wu于1969年在已有的众多有关研究成果之上，把有限时间稳定由连续时间拓展到离散时间。在1965—1975年之间，出现了大量有关有限时间稳定的文章。但所有这些文章局限于分析给定的系统，而没有给出控制设计的方法。

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