摘要：本文给出变上限积分函数概念及定理，由定理得出一个重要推论，介绍变上限积分函数在概率论与数理统计及高等数学课程的学习中的应用，利用变上限积分函数来求导及求极限，以及证明不等式，利用变上限积分函数来解释概率密度函数。可以看出变上限积分函数不只是一个数学概念，其实也是一种数学方法。

　　关键词： 变上限积分函数;不等式;概率密度函数;推论

　　我们在高等数学中学习了变上限积分函数，也知道变上限积分函数的几个定理，但变上限积分函数有独到的应用却介绍很少。本文结合高等数学及概率论与数理统计的教学，给出变上限积分函数的应用。

　　一，设在连续，变上限积分函数有以下性质：

　　定理1如果函数在连续，变上限积分函数在上具有导数，且，。由定理1得到以下推论：

　　推论：设函数在可导，则

　　证明：令，则，由复合函数求导法则，

　　例1：求，此极限为“”型，采用罗必达法则，

　　解：原式

　　定理2若连续，则当时，等价无穷小量为，即

　　证明：对“”型未定型极限，由罗必达法则，则

　　例 求

　　二，证明不等式

　　不等式的证明有多种方法，但遇到积分的不等式的证明问题，如果不用变上限积分函数的性质，就会比较困难。

　　例1 设在上连续且单调增加，证明

　　证明：构造变上限积分函数，令，则由定理1可知函数可导，

　　，从而在上单调增加，即有，因为，故有

　　，即有，即

　　例2 Cauchy-Schwards不等式，即设在上均连续，证明:

　　证明：构造变上限积分函数，

　　令，显然，由

　　所以在单调增加，则有故有，即有

　　，即Cauchy-Schwards不等式成立。

　　三，概率论中随机变量的分布函数的建立。概率统计课程中分布函数定义为：，其中，称为概率密度函数，我们如何理解?

　　由可变上限积分函数的结论，上述定理1知，再由微积分导数概念则有

　　，这就解释了为何称为概率密度函数。