(图1) 格进行等间隔的分割。即对回望期权价格的求解区域网格化。为资产可

达到的最高价格。假设，总共有+1个时间点

.同时定义，考虑个

股票价格：。这样就构造了一个共有

个点的坐标方格。如图右所示。坐标上的

点对应时刻和股票价格，用用表示点的期权价格。对于坐标方格

　　内部点，令

， (16)

， (17)

， (18)

(16)， (17) ，(18)代入(15)，注意到，得到

(19)

(，)

其中

　　(19)式即为CEV过程下有交易费的回望期权定价模型Crank-Nicolson格式的数值解。

　　写成矩阵的形式为

() (20)

其中

，

　　(20)式为三对角形线性方程组，可以通过“追赶法”求解[12]。

假设标的资产(以股票为例)初始价格为40美元，期权有效期内资产的最大值可能为30美元，40美元，50美元，期权的有效期为6个月，即年，无风险利率为10%，，，，下表分别给出了通过MATLAB编程计算的数值解。

　　表1 不同时间步长的期权价格 执行价格 n=10 n=20 n=50 n=100 n=200 n=300 m=400 n=500 30 0.3543 0.3206 0.2973 0.2714 0.2601 0.2547 0.2530 0.2530 40 2.4272 2.8348 3.4032 3.5762 3.5794 3.6107 3.6213 3.6213 50 5.5631 5.5729 5.5867 5.5887 5.5909 5.5942 5.5942 5.5942

　　表2 不同股票价格步长的期权价格

　　执行价格 m=10 m=20 m=50 m=100 m=200 m=300 m=400 m=500 30 0.3539 0.3328 0.2983 0.2720 0.2593 0.2530 0.2530 0.2530 40 2.4303 2.8417 3.4019 3.5723 3.5783 3.6114 3.6175 3.6175 50 5.5752 5.5823 5.5847 5.5873 5.5907 5.5913 5.5930 5.5930 上表是由有限差分方法求出期权在价外、平价、价内时的价格的近似值，可以看出，随着m，n的增大，价格趋于一个稳定值。

　　4 结束语

本文主要研究了CEV过程下有交易费的一类回望期权定价问题。为了避免连续交易而产生过高的交易费，运用Itô公式和期权定价的无套利原理，建立了离散时间交易模型，并且得到了该模型下期权价格所满足的微分方程，给出了该微分方程的数值解，并且通过实例验证该数值解的有效性。当，时，此模型即为Goldman扩散回望期权定价模型[3]。因此，本文把回望期权定价模型作了进一步的推广。

　　参考文献：

　　[1] Black F，Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities[J].Journal of Political Economy，1973，81(7)：637-655

　　[2] John C,Hull. Options,Futures,and Other Derivatives[M].A Simon &Schuster Company,2005，399-447

　　[3] Goldman M B，Sossin H B and Gatto M A. Path dependent options：buy at the low，sell at the high[J]. Journal of Finance，1979，34：1111-1127

　　[4] Conze A，Viswanathan. Path dependent options，the case of lookback options[J]. Journal of Finance，1991，46：1893-1907

　　[5] Barles G, Mete H. Option pricing with transaction costs and a nonlinear Black –Scholes equation [J]. Journal of Stochast,1998, 72(2): 369-397.

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