摘要：在数学分析中，二元函数极值的判定定理依赖于二元函数的Taylor公式，不仅证明繁琐，而且要求二阶偏导数都连续，丈章给出了在一阶偏导数可徽这种较弱的前提条件下利定二元函数极值点的方法，并能够给出了直接的证明，改进了相应的定理，无论在学术上，还是教学实践中都有一定的意义。

　　关键词：二元函数;极值;极值点

　　形式上二元函数只比一元函数多一个自变量，但实质上关于二元函数多一个自变量，但实质上关于二元函数的极值问题要比一元函数复杂得多，极值一般分为无条件极值和条件极值两类。无条件极值问题即是函数中的自变量只受定义域约束的极值问题;条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外，还受其他条件限制的极值问题。

　　一、求解无条件极值的常用方法

　　1.利用二阶偏导数之间的关系和符号判断取不取极值及极值的类型

　　定理1(充分条件) 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数, 又fx(x0, y0)=0, fy(x0, y0)=0, 令

　　fxx(x0, y0)=A, fxy(x0, y0)=B, fyy(x0, y0)=C,

　　则f (x, y)在(x0, y0)处是否取得极值的条件如下：

　　(1) AC-B2>0时具有极值, 且当A<0时有极大值, 当A>0时有极小值;

　　(2) AC-B2<0时没有极值;

　　(3) AC-B2=0时可能有极值, 也可能没有极值。

　　极值的求法：

　　第一步 解方程组fx(x, y)=0, fy(x, y)=0, 求得一切实数解, 即可得一切驻点。

　　第二步 对于每一个驻点(x0, y0), 求出二阶偏导数的值A、B和C。

　　第三步 定出AC-B2的符号, 按定理1的结论判定f(x0, y0)是否是极值、是极大值 还是极小值。

　　应注意的几个问题：

　　⑴对于二元函数z=f(x, y),在定义域内求极值这是一个比较适用且常用的方法, 但是这种方法对三元及更多元的函数并不适用;

　　⑵AC-B2=0时可能有极值, 也可能没有极值，还需另作讨论;

　　⑶如果函数在个别点处的偏导数不存在，这些点当然不是驻点，但也可能是极值点，讨论函数的极值问题时这些点也应当考虑。

　　2.对于三元及更多元的函数定理1并不适用，而在实际问题中经常要遇到求三元以上函数的极值问题，对此可由二次型的正定性加以解决。

定义1 设元函数在的某个邻域内有一阶、二阶连续偏导数。 记, 称为函数在点处的梯度。

定义2 满足的点称为函数的驻点。

定义3

称为函数在点处的黑塞矩阵。显然是由的个二阶偏导数构成的阶实对称矩阵。

　　二、求解条件极值的常用方法

　　1.代入法化为无条件极值问题

　　从一道错误的例题谈条件极值的代入法[1] (这里全文引用)

　　同济大学出版的教材(高等数学(第二版下).上海:同济大学出版社,1998.8)在介绍条件极值时举了这样的一道例题:

“例10:某公司的两个工厂生产同样的产品,但所需成本不同,第一个工厂生产单位产品和第二个工厂生产单位产品时的总成本是。若公司的生产任务是500个单位产品,问如何分配任务才能使总成本最小?

解:根据题意,是求函数在在条件下的极值。作辅助函数

令，解得，所以根据题意知,当第一个工厂生产125个单位产品、第二个工厂生产375个单位产品时总成本最小。”

上述解法,粗看起来好象没有什么毛病,但却是经不起推敲的。简单的验证可知,本例求出的总成本为,但却不是最小,譬如,就比求得的“最小值”小了一半还要多!事实上,点(125,375)不是最小值点,而是最大值点。究其原因,主要是解题方法选择不当造成的。我们知道,求解自变量不超过三个的条件极值问题,既可以用拉格朗日乘数法,也可以用代入法。用拉格朗日乘数法虽然很方便,但极值点的判定却比较麻烦。对这个问题,几乎所有的教材都没有作出正面的回答,只指出了用这种方法求出的极值点是“可能的”极值点,“至于如何确定所求得的点是否为极值点,在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定”。然而许多实际问题中,根据问题本身的性质却无法确定究竟是极大还是极小。在这种情况下,采用代入法则可以有效地解决极值点的判定问题。本例中,由于总成本究竟是最小还是最大并不好判定,因而采用代入法求解就可以避免产生上述的错误。

若令并代入目标函数中,可得总成本，于是问题转化为求函数在区间[0,500]上的最小值。

由,可得惟一驻点=125(显然是极大值点),计算该驻点及两端点处的函数值,有C(125)=531950　　C(0)=500700　　C(500)=250700

比较即知=500是所求之最小值点,此时=0。即把500个单位产品的生产任务都分配给第一个工厂生产时总成本最小。

　　2.更一般的方法是利用拉格朗日乘数法求解

“乘数法”所得到的点只是可能的极值点,到底是否是极值点以及其类型要依据拉格朗日函数的二阶微分的符号来判断。

 1/2    1 2 下一页 尾页