摘要：二次函数零点分布问题一直是一个难点，也是高考中的常见题型，是历年高考数学考查的热点之一。本文从不同的角度、侧面、层次，运用不同的知识和方法透析一道二次方程实根分布问题的多种解法，探索解决此类问题的方法和技巧。

　　关键词：二次函数零点分布、高考数学、多种解法

　　从不同的角度、侧面、层次，运用不同的知识和方法解决同一问题，不但能提高同学们灵活运用数学知识分析解决问题的能力，而且对给出的类似问题能快速找到解决问题的突破口。二次函数零点分布问题一直是一个难点，本文通过分析一道二次方程实根分布问题的各种解法，探索解决此类问题的方法和技巧。

　　：已知方程至少有一个正的实数根。求实数的取值范围。

　　法一：韦达定理法

　　解:(1) 当时，，即符合题意。

　　(2)当时，因为，所以方程无零根，可分为下列两种情况：

　　① 两正根 ： 解得，

　　② 一正一负根： 解得，

　　综上所述，所求的取值范围是。

　　【解析】韦达定理法适合正负实根的问题，非正负实根的问题也可以转化为此类问题，例如：方程至少有一个大于1的实根的问题，可以转化为方程至少有一个大于0的实根，然后再用韦达定理法求解。

　　法二：转化为方程有解问题求解

　　解：可转化为方程在内有解.

　　当时，，即符合题意。

　　当时，整理为，因为则，所以

　　， 令

　　由得，由得

　　所以在上单调递增，在上单调递减.

　　，于是的值域为

　　所以的取值范围是。

　　【解析】将根的分布转化为在内有解，然后通过分离参数，就把一个含有参数的问题转化为求已知函数值域的问题，从而将题目的难度降低。

　　解法三：图象法(数形结合)

　　(法一)正面求解：令函数，则其图象与轴的交点至少有一个在原点右侧，有下列两种情况：

　　当时，，直线与轴的交点为，在原点右侧，符合题意。

　　当时，因为，所以抛物线过点

　　若则的图象开口向下，如图，二次函数图象与轴的两个交点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧。

　　y

　　x

　　1

　　0

　　x

　　1

　　0

　　y

　　< >(2) 时，的图象开口向上，如图(2)所示，要使交点在原点右侧，当且仅当，解得，

　　综上所述，所求的取值范围是。

　　【解析】数形结合可以直观地看出根的分布情况，画图时要注意函数是否过定点等特征，写其充要条件时要考虑以下四个要素：开口方向、判别式、对称轴、区间端点处的函数值。

　　(法二)：反面求解：

　　假设函数的图象与轴的交点都不在原点右侧，则有

　　(1)当时，交点为，不符合题意。

　　(2)当时，有下列两种情况：

　　①的图象与轴无交点，则有：得

　　②的图象与轴有交点，因为，所以函数的图象与轴的交点都在原点左侧，如图，

　　则有 ，解得，

　　x

　　y

　　0

　　1

　　(3)

　　综上可得.

　　所以原命题中的取值范围是。

　　【解析】在用数形结合解此类题时，如果正面分类情况较多时，可以考虑从其反面入手。

　　总之，在解决二次函数零点分布问题时，灵活运用“数”和“形”的相互转化，以及数形结合的思想，往往可使问题的解决变得巧妙而快捷，使一些复杂的问题解决起来变得简单而生动。而转化与划归以及数形结合的思想都是高考中明确规定要求考查的主要数学思想之一。