摘要：

　　三角函数的最值是三角函数中的重要内容，是历年高考数学考查的热点之一。对这类问题只要我们找到恰当的方法，就可以简捷地求解。本文通过归类举例引导学生仔细观察三角函数的特征，联系已有的函数知识，把陌生的问题转化为熟悉的问题。分别从利用三角函数的有界性、利用换元法变为多项式函数、利用其几何意义、利用均值不等式 等角度来介绍三角函数最值的求解策略， 帮助学生提高分析问题和解决问题的能力。

　　关键词：三角函数 求解策略 高考数学

　　三角函数的最值是三角函数中的重要内容，也是高考中的常见题型，是历年高考数学考查的热点之一。对这类问题只要我们找到恰当的方法，就可以简捷地求解。下面举例归类介绍几种三角函数最值的常用求解策略。

　　一、可化为的形式

　　例1 求函数的最大值。

　　解：

　　其中，函数的最大值为。

　　求函数的最大值。

　　解：

　　由，得函数的最大值为，最小值为 。

　　[点评]这类题目解决的思路是把问题化归为(其中)的形式，然后利用正弦函数的有界性来确定三角函数的最值，要特别注意函数的定义域。

　　二、可化为多项式的形式

　　例3. 求函数， 的最值。

　　解：

　　当时，即时，函数取得最小值;

　　当时，即时，函数取得最大值为.

　　例4. 若，求函数的最值。

　　解： 令，则，

　　当时，即时，函数取得最小值

　　当时，即时，函数y取得最大值

　　[点评]若函数表达式可化为只含有一个三角函数的式子，或者表达式中同时含有和的函数，可利用换元法变为多项式函数再对其求解。

　　< >形如的形式(其中分别表示三角函数的一次形式) 的最值。

　　解法一：由已知得

　　即，据得，解得

　　所以的最大值为，最小值为。

　　解法二： 设，则，

　　即为过两点连线的斜率。所以要求函数的最大值，只要求直线的斜率的最大值即可。

　　，在单位圆上。

　　因为直线的方程为：，

　　由图观察可知，直线与单位圆相切时，斜率取得最值。

　　由，解得，或

　　所以的最大值为，最小值为。

　　例6. 求函数的最大值和最小值。

　　解法一：由 得，

　　即，因为，所以

　　平方解得，所以，。

　　解法二：设，，

　　设表示过两点的直线的斜率，因为点在线段上，由图易知直线过线段两个端点时，取得最值，

　　而线段的两个端点分别为和，于是，

　　[点评]对于此类问题可化为整式三角函数并利用三角函数有界性来解，或通过构造直线的斜率，利用其几何意义来确定三角函数的最值。

　　四.形如的形式(其中为三角函数的一次形式)

　　例7. 当时，求函数的最小值

　　解：

　　因为，所以 ，故 ，当且仅当，即时等号成立。

　　例8.求在区间上的最小值。

　　解：令 ，则

　　，，即，

　　又在区间上是减函数，

　　所以当时，即时，函数取得最小值12.

　　[点评]若用，求得最小值是错误的。这是因为当等号成立时，，即是不可能的。

　　总之，要仔细观察三角函数的特征，联系已有的函数知识，把陌生的问题转化为熟悉的问题，这就是求解三角函数最值的常用策略。当然，除了以上几种常见的题型以外，还有很多解决三角函数最值问题的方法，只要注意总结就可以提高我们分析问题和解决问题的能力，就可以跳出题海，学得扎实而灵活。