【摘要】在中职数学教材中向量是一种最基本的，也是最重要的一种数学概念。通过向量的运用可以有效的解决几何问题。本文主要探讨向量在立体几何教学中的应用问题。

　　【关键词】立体几何;向量;应用

　　向量法

　　向量法指的是利用图形的某一点当作坐标原点，然后建立空间直角坐标系，并由此解决相关的几何问题。要想解决空间距离以及角等问题，运用向量法具有很大的优势。另外，运用向量法解决几何问题的另一个好处就是，可以不用画辅助线，而且解题思路也很清晰。对于中职学生的数学学习来说，具有一定的帮助。

　　如何在立体几何中运用向量解题

　　有一部分立体几何问题可以运用向量来解决。在立体几何中，向量法可以解决其线面平行、距离、垂直、角度等一系列问题。这就要求教师要让学生熟练掌握向量在立体几何中的运用问题。另外，二面角的值是根据其平面角来确定，从定义来看，二面角上点的选择的任意性提升了解题难度，也影响到了学生对于二面角的计算。换个角度来考虑，引导学生认真思考题意，建立正确的直角坐标系，利用向量知识来解决坐标运算，目的是为了利用二面角的两个面的法向量夹角来求二面角的大小，这样也简化了运算程序。

　　利用向量解决二面角问题

　　要想证明直线垂直于平面，通常是寻找两条在平面内相交的直线，使之垂直于所给直线。但是，在实际解题中，这样做的难度比较大。如果利用平面法、定义法等综合法来解决二面角问题，对中职学生来说具有很高的能力要求，但是运用向量法则能较好的解决这类问题。

　　例一 如图，正四棱柱-中，=,=，点在上，=4。

　　证明：⊥平面;

　　方法一：由题可知=，=

　　连结、且相交于点，所以⊥。又因A⊥BD,所以BD⊥平面AC，⊥,连结平面内的交于点，因为==,所以，△∽△，因此=，因此和互余，故⊥

　　由此可得，和平面内两条相交直线、都垂直，从而证明⊥平面

　　方法二：由图1()，坐标原点是，射线是轴的正半轴，轴是，轴是,建立如图所示的直角坐标系-：

　　由题可知，(),()，(),()

　　=()，=()，=(),=();由于·=0，·=0，所以，⊥,⊥，而和相交于点，因此，⊥平面。

　　通过上述方法的解题思路来看，用向量解题只建一个直角坐标系，并找出对应的坐标就能据此解出向量的坐标，接着根据两个向量垂直的结论就可以解决几何问题。另外，运用向量法还可以解决诸多几何问题，比如点到直线的距离、异面直线所成角的大小等问题。

　　2.空间两条异面直线所成角以及异面垂直证明

　　从异面直线所成角的定义来看，要求解出所成角就需要在几何图形中选择好合适的点，比如几何图形中的条件中告知的等分点或者异面直线上的中点等等，作平行于另外一条异面直线的平行线，接着利用三角形以及正余弦定理解答案例题。

　　不过，要想正确的解决问题，必须要遵循作图、证明、求解的三个步骤。实际上，不少中职生找不到选点，通常也没有重视第二个论证步骤，结果要么求解错误，要么就无法求解，并且还加重了运算量。数学教师应该引导学生巧妙运用题中的已知条件建立空间直角坐标系，结合线段条件，算出异面直线的方向向量，利用数量积公式进行变形、预算，就可以比较容易的算出两条异面直线所成角的余弦值。最后，根据所成角的范围，算出所成角的值。由于省略了传统解题方法中的求证，虽然运算量有些大，但是对学生来说，还是一种相对简便的方法。

　　例二 如图所示直三棱柱-中，底面△是腰长为的等腰直角三角形，=°，侧棱=,是的中点。

　　求和所成角的余弦值;

　　‚求证：⊥.

　　从已知条件以及图形来看，教师可以指导学生根据题意建立空间直角坐标系，具体来说，、、两两相互垂直，可以根据射线、、作轴、轴、轴，建立直角坐标系-，然后由题意中的底面边长、侧棱长度以及点位置，可以算出点、、、、的坐标，从而利用向量知识来解题。

　　空间直线和平面所成角的证明

　　从直线和平面所成角的定义来看，一般在计算直线和平面所成角的问题时，首先是根据定义找出直线和直线所在平面内的射影，接着利用三角形计算。这种方法比较麻烦，需要学生计算构造出的直角三角形的有关边长。但是，如果能够用条件建立空间坐标系，将直线和该平面所成角转化成方向向量和平面的一个法向量所成角的余角，就可以简化计算程序，这种简便的方法符合中职生的学习特点。

　　例三 如图，在棱长为的正方体中，-，Z为的中点，求直线DZ和平面所成角的大小(用三角函数值表示)。

　　根据题意以及图形可以看出，利用正方体是很容易建立直角坐标系，而图中的点Z是平面的对角线的中点。利用法向量来计算比较方便，教师只需引导学生建立好直角坐标系(如图所示)，算出直线DZ的一个方向向量是=()，平面的一个法向量是=()，所以可以算出直线DZ和平面所成角表示为

　　在实际解题过程中，教师必须引导学生熟悉向量的相关知识。不少立体几何问题都可以利用向量知识来解答，但是从解题过程来看，部分题目的解题过程较为麻烦，但是方法却是很明确的。空间向量知识为解决数形结合的数学问题提供了有利条件。因此，教师应该认真指导学生掌握向量知识，特别是向量的数量积以及其相关变形，让学生熟练运用坐标、非坐标表示空间向量共线、垂直的充要条件，在理解和运用的过程中运用向量知识来解决立体几何问题。

　　关于运用向量知识解决立体几何问题的反思

　　利用向量知识计算立体几何题，使几何问题代数化，在几何问题中融入代数的思维，把立体几何中的空间位置关系变成数量关系，然后由此证明数值，对于学生来说作用重大。因为利用向量来解答立体几何问题，既降低了学生的解题难度，也从一定意义上降低了学生的思考难度，具有实际的操作性。教师应该多引导学生积极思考、探索解决方法，培养他们的思维能力和计算能力。与此同时，向量知识的运用反映了“数”的运算性质，同时也具有“形”的直观特点。所以，向量知识是数形结合的重要纽带，能够有效的解决相关的平行、垂直、角等几何问题。对于探索性的立体几何题型，用向量解决的过程中要注意充分利用图形以及已知的条件关系，正确的运用向量知识，并将复杂的问题简单化，利用逻辑推理来解决几何运算。所以，教师应该积极带领学生探索如何运用向量解决立体几何运算问题，使学生不再畏惧立体几何运算。

　　结束语

　　总而言之，由于中职生的数学基础普遍较差，在教授运用向量知识解决立体几何问题时，应该认真引导他们进行探索，转变学生的思维，引导学生积极参与，为学生提供一个学习平台，鼓励他们激发自己的思维能力，形成创新意识，为中职生的数学学习打下坚实的知识基础。

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