每年高考一结束，都会听到学生发出的牢骚：这么多参考书、模拟卷都白做了。其实这正是高考命题的成功之处，高考命题者高屋建瓴，围绕考纲、依托中学数学教材，科学设计出的试题，在一定程度上浓缩了课本重要的基础知识、基本技能和重要的数学思想方法，但它又总以全新的面目呈现，让徜徉于题海的人手无足措。其实掀开其面纱，就可以在课本中找到很多问题的影子。这里以2013年全国大纲卷第8题为例，谈谈平时的教学中老师如何依托课本，展开教学设计，不断提升学生能力，让他们能顺利透过表象，看穿面纱后的本来面目。

　　【2013年全国大纲卷第8题】椭圆的左、右顶点分别为点在上且斜率的取值范围是( )

　　(A) (B) (C) (D)

　　这道解析几何选择题，题干叙述简洁明了，但问题涉及斜率的取值范围，若对本题背景不熟悉，直接代坐标计算会有一定的计算量。

　　一、追根溯源，解读背景

　　本题的背景实际上是椭圆上一点与椭圆的长轴两个端点的连线斜率之积为定值。这又可追溯到人教版选修2-1教材第41页例3及第55页探究。

　　【第41页例3】如图1，设点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积，求点的轨迹方程。

　　【第55页探究】如图2，点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积，试求点的轨迹方程，并由点的轨迹方程判断轨迹的形状，与2.2例3比较，你有什么发现?

　　在课堂上对第41页例3的处理，有的老师简单地由直接法求出M点的轨迹方程即可，有的老师甚至认为课本例题太简单，弃之不顾，而从参考书上选择难度大的题来代替。但其实这看似普普通通的一道题，实际上却大有文章可做。教学中，利用这两道题作为探究素材，通过对题中条件、结论的变更，通过类比，引导学生展开一系列探究，可以取到很好的教学效果。

　　二、拓展探究 ，发掘内涵

　　探究1：变更题设条件，将条件一般化

　　变题1:设点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积，试讨论点的轨迹。

　　通过计算、讨论，学生归纳出的不同取值范围对应不同的轨迹：当时轨迹是焦点在y轴上的椭圆;当时轨迹是圆;当时轨迹是焦点在x轴上的椭圆;当时轨迹是焦点在y轴上的双曲线(以上轨迹均除去点)。

　　将具体数学换为字母，考察了学生对含参数问题的处理。参数问题广泛存在于中学数学问题中，对含参数问题的处理，往往涉及分类讨论的数学思想，这一直是学生的薄弱环节。在平常的课堂教学中，老师可以有意识地渗透这类问题，让学生体会分类讨论的思想，遇到复杂问题时，能够全面、严谨地正确分类，从而化难为易。

　　探究2：交换题设与结论

　　变题2：如图3，设点的坐标分别为，若为椭圆上任意不同于点的一点，连接直线，判断直线的斜率之积是否为定值。

　　探究3：思考变题2中定值、两点位置与椭圆间有什么内在联系，结论是否具有一般性?

　　学生通过观察、计算、归纳，有些同学得到下面两条关于椭圆的性质。

　　性质1：已知A、B是椭圆C：长轴两端点，点M是椭圆上任意一点，当直线MA、MB的斜率都存在，并分别记为、时，则(定值)。

　　性质2：已知A、B是椭圆C：上关于原点对称的两个点，点M是椭圆上任意一点，当直线MA、MB的斜率都存在，并分别记为、时，则(定值) 。

　　至此，前面所述2013年全国大纲卷第8题若利用性质2，结论便手到擒来。在上述探究过程中，学生充分感受到数学变化多端的背后隐藏着某种规律性，在学习中达到“举一反三，触类旁通”之效。

　　除了作上述探究外，在学到人教版第55页探究时，还可以就此问题从类比的角度作进一步探究。

　　探究4：类比椭圆，探究双曲线和圆上的任意一点与曲线上关于中心对称的两点连线斜率的关系。

　　类比推理是生活和学习中常用的推理方法，能否广泛而又恰当地运用类比推理，是衡量一个人创造性思维能力的标志之一，运用类比推理，也是锻炼独立分析和解决问题能力的有效方式之一。圆作为特殊的椭圆，双曲线作为椭圆的“情侣曲线”，它们都与椭圆有着密不可分的联系。学完椭圆后，教学中有意识引导学生通过类比去完成知识的迁移，既能突出问题的实质，又有助于学生创新意识的形成，下面的两条性质也就水到渠成了。

　　性质3：已知A、B是双曲线上关于原点对称的两个点，点M是双曲线上任意一点，当直线MA、MB的斜率都存在时，并记为、，则(定值)

　　性质4：已知A、B是圆上关于原点对称的两个点，点M是圆上任意一点，当直线MA、MB的斜率都存在时，并记为、，则(定值)

　　探究5：类比、拓展、归纳椭圆中斜率之积为定值的情形。

　　o

　　A

　　B

　　M

　　x

　　y

　　图4

　　N

　　在圆锥曲线中定点、定值是常见又典型的问题，以椭圆为例，稍加整理，就能发现在椭圆中有关斜率之积为定值的结论有不少。在课堂可以从下列性质中选择部分抛砖引玉，更多发现，留给学有余力的同学课后去探究、归纳、整理、证明。

　　o

　　A

　　B

　　M

　　x

　　y

　　图5

　　性质5：如图4，已知A、B是椭圆C：上关于原点对称的两个点，其中点在第一象限，它在轴(或轴)上的射影为点N,直线交椭圆于另一个点M，则(定值)

　　F

　　A

　　B

　　M

　　x

　　y

　　图6

　　性质6：如图5，已知椭圆C：，AB是椭圆的任意一条不过椭圆中心的弦，M为弦AB中点，当直线AB斜率存在且不为0时有(定值)性质7 ：如图6，已知椭圆C：，F为椭圆的右焦点，过F作斜率存在且不为0的直线交椭圆于A、B两点。分别过点A、B作椭圆切线，两切线交于M点，则直线MF与直线AB的斜率之积为满足：(定值) 。

　　性质8：如图7，已知椭圆C：，F为椭圆的焦点，过F作斜率存在且不为0的直线交椭圆于A、B两点。与焦点F相应的顶点M与点A、B连线斜率分别记为、，则(定值)，其中为椭圆的离心率。

　　三、反思教学，改进方法

　　实际上，从近几年的全国各地高考试题来看，将这组性质改头换面来考察的题目有不少，除了前面提到的2013全国大纲卷第8题，还有如2011江苏卷第18题第(3)问，2011湖北理第20题第(1)问，2012湖北理第21题的第(2)问，等等。

　　面对此类问题，教师若能在平时课堂教学中注意分析课本例、习题的特殊背景，充分挖掘例、习题的丰富内涵，通过对题中条件、结论的变更，通过类比，把数学思想方法融入其中。学生在享受这个过程的同时，既巩固了基础知识、基本技能和基本方法,也激发了他们面对新问题的探究兴趣，一定程度上又提升了学生抽象概括能力和创新能力。为此，建议疲于在各种资料中穿梭的老师、同学们，缓缓你们的脚步，踏上课本之舟，让它引领我们驶向成功的彼岸。

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