摘要：本文中，我们主要解释倒易点阵的一些基本性质和它在X衍射等领域里的应用，在此基础上推导了劳厄方程，布拉格定律和发生X衍射的条件等，说明了正格子与倒格子之间的关系并两个在X衍射中的地位和优越性，使晶体倒易点阵的教学过程更加具体化，形象化。逐步培养学生对晶体几何空间的发散性思维，增加了学生对材料物理及晶体学的学习热情和学习兴趣，取得了较好的效果。

　　关键字：晶体，X衍射，倒易点阵

　　前言

　　晶体倒易点阵的理论在晶格振动、晶格热传导、能带理论中的近自由电子近似模型中占据重要的地位。对固体物理、材料物理和晶体学等领域来说，晶体倒易点阵理论是重要的理论基础(2,3,6)。在倒易点阵的教学中不局限在“传道”和“授业”层面告诉学生倒易点阵“是什么”和“怎样用”。更重要的是在“解惑”的层面上引导学生思考、回答“为什么如此”的问题。在对解释倒易点阵基本性质，介绍倒易点阵在X衍射中的应用中，使学生认识倒易点阵的物理本质及其理论形成的必然性和逻辑性，并为学生在以后材料物理，固体物理的学习和X衍射相关工作的研究过程中提供了基础知识。在教学过程中可以直接引用劳厄方程的推导，布拉格定律和发生X衍射的条件等，从而达到十分理想的教学效果。

　　2 晶体倒易点阵的定义和基本性质

　　点阵是一种规则排列的数学抽象点，晶体点阵是描述晶体内部周期结构的点阵，又称正晶格点阵，而倒易点阵(Reciprocal Lattice)是正晶格点阵的倒易(5) ，指的是在量纲为(L)−1倒易空间内的另外一个点阵，它是与正的空间内某一特定的点阵相对应。倒易点阵是在晶体点阵的基础上按照一定对应关系建立起来的空间几何图形，是晶体点阵的另一种表达形式。

　　倒易点阵的数学形式大都定义为(1-3)：已知有正格子基矢，定义倒格矢基矢为:;;，如图1所示。

　　图1 与 的关系示意图

　　其中为正格子原胞体积;由平移操作所产生的格点叫倒格点;一个倒格矢表示为;倒格点的总体叫倒格子;叫一组倒格基矢;由与所决定的点阵为互为倒格子。它有以下几个性质：

　　1) 倒格矢 与任一个正格矢的乘积必等于, 即与劳厄方程比较，满足衍射条件时，必定是倒格矢。

　　2) 晶面簇, 亦即 晶面法向为

　　3) 界面族的面间距为

　　4) 其中倒格子体积为:

　　5)如果互相垂直, 则分别平行于

　　3 倒易点阵在X 衍射中的应用

　　晶体是原子有规则地周期性排列起来的几何结构，而这种规则的结构可以用一系列的正空间点阵来描述。原子在晶体中的有规则的排列构成多组不同方向的平行面，由于晶体对X射线起了立体光栅的作用，如果把一束X 射线射入到晶体，波长只要满足布喇格公式，就能发生衍射(2)。通常把晶体对X的衍射描绘成倒易点阵，而倒易点阵又与晶体的实际结构(晶格点阵)存在傅立叶变换关系(5)。倒易点阵的建立将晶体对X的衍射和晶体的实际结构联系起来，这为晶体结构的分析提供了一种有效的方法。

　　1)厄瓦尔德(Ewald)图解法

　　厄瓦尔德(Ewald)图解法是如图2所示，如图可以看出厄瓦尔德图解法有几个特点(5,6)。

　　(1) 入射波矢的矢端落在一倒格点上;(2) 以此波矢的起点c为圆心，以此波矢的长度为半径作一球面;(3) 凡落在此球面上

　　图2厄瓦尔德图

　　的其它倒格点与c点的连线决定衍射波的方向。对于单色X射线，能产生衍射的方向(点)很少，采用转晶法，可得到较多的衍射斑点。当晶体旋转时，倒格子也作对应的旋转(在图2中倒格点绕过O点，又与Ewald球相切的轴旋转), 旋转的倒格点穿过Ewald球面，则球心与相交点的连线方向可产生衍射。也是为了增加衍射斑点，统计上，粉末晶体的倒格子在k空间各个方向的分布都有，从而增加了衍射方向，只有那些服从劳厄方程的方向才能发生衍射。2) 劳厄法

　　图3 衍射关系说明图

　　图4 散射矢量示意图

　　劳厄衍射, 用连续谱的X射线作衍射源的衍射。如图3所示，由图我们可以

　　写出下列关系，衍射加强条件的物理意思是当入射波失和衍射波失相差一个或几个(倒格失)得时，满足衍射加强条件，n为衍射级数。在倒格子空间, 凡是的矢端落在任一个倒格矢的垂直平分面就可以产生衍射：其散射矢量如图4所示。

　　根据性质(3)可得，，根据公式;建立反射球。

　　建立反射球有两个方面的意思

　　(1) 通过所建立的反射球，把晶格的衍射条件和衍射照片上的斑点直接联系起来。

　　(2) 利用反射球求出某一晶面组发生衍射的方向(若反球上的A点为一个倒格失，则CA 就是OA为倒格失的一族晶面的衍射方向为S)如图5所示。

　　图5 反射球

　　3)衍射条件与布拉格定律(n为衍射级数)从以上结论，可得图4对倒格矢空间中任一矢量 ，正格子在必有一垂直平分面等分，其晶面密勒指数，由倒格子性质(3)，这簇晶面的面间距为 布拉格定律：

　　4 结束语

　　本教学研究解释了倒易点阵基本概念和性质，推导了劳厄方程。通过介绍倒易点阵在X衍射中的应用，加深学生对倒易点阵这一基本概念和其物理意义的理解。本文在基本物理概念和实际物理问题中建立有机联系，使物理基础理论教学变得更加生动，有效，同时还容易激发了学生对晶体物理学的学习热情。

　　本文是物理基本概念的引入与实际物理问题的解决有机结合的教学实例。本文在教授学生基本物理概念，解决实际物理问题的同时，还进一步深化物理教学的改革。

　　5 参考文献

　　(1)黄昆.固体物理学[M].高等教育出版社

　　(2)褚圣.原子物理学[M].高等教育出版社

　　(3)潘金生，田民波，仝健民.材料科学基础[M].青华大学出版社

　　(4)胡康祥，戒咏华.材料科学基础[M].上海交通大学出版社

　　(5)梁栋材.X射线晶体学[M].科学出版社

　　(6)阎守胜.固体物理基础[M].北京大学书版社