1.2 数形结合在函数方面的应用。

　　函数是高中数学知识的主要且重要内容，正是函数所处于的地位和作用，数形结合思想在函数中的应用变得尤为重要。利用一次函数，二次函数，指数函数，对数函数，三角函数等基本函数的图像解决代数问题。培养学生的观察能力，能够将某些代数式的形式与几何中的距离等联系在一起，发现某些函数具有的特征，从而更进一步能够构造几何模型解决问题，提高学生思维的深刻性，目的性和创造性。

　　例:已知函数

　　试求b,c所满足的关系式;

　　x

　　O

　　y

　　若b=0，方程有唯一解，求a的取值范围;< >若b=1，集合，试求集合A.，得

　　∴b、c所满足的关系式为.

　　(2)由，，可得.

　　方程，即，可化为，

　　令，则由题意可得，在上有唯一解，

　　令，由，可得，

　　当时，由，可知是增函数;

　　当时，由，可知是减函数.故当时，取极大值.

　　由函数的图象可知，当或时，方程有且仅有一个正实数解.

　　故所求的取值范围是或.

　　(3)由，，可得.由且且且

　　当时， ;当时，;

　　当时()，;当时，且;

　　当时，∪.

　　评注：函数是贯穿高中数学知识的主要内容，它的地位和作用非常重要，数形结合思想在解决函数问题时尤为重要。函数的图像是表示函数关系的方式之一，它是从“形”的方面来刻画函数的变化规律，形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得答案的重要工具。利用一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本函数的图像来解决代数问题，有利于培养学生的转化联想能力、观察能力，如利用某些函数表达式所具有的特征，与几何中的距离、直线的斜率、线段

　　的长度(两点间的距离)等联系在一起，构造几何模型解决问题，培养学生思维的深刻性并提高创造性。

　　1.3 数形结合在解三角题中的应用

　　华罗庚曾指出“三角与解析几何有极多的数形结合处”。而许多同学在三角的学习中，经常按已有的经验和思维方式去思考问题。我们要不单会利用三角知识去解三角形，更重要的是善于从多方面加以分析，找出几何模型，进而解决问题。对学生思维广阔性，灵活性，深刻性的培养起到很大的作用。

　　例:已知acosα+bsinα=c, acosβ+bsinβ=c(ab≠0,α–β≠kπ, k∈Z)求证：

　　.

　　证明:在平面直角坐标系中，点A(cosα,sinα)与点B(cosβ,sinβ)是直线l:ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点如图.

　　从而：|AB|2=(cosα–cosβ)2+(sinα–sinβ)2

　　=2–2cos(α–β)

　　又∵单位圆的圆心到直线l的距离

　　由平面几何知识知|OA|2–(|AB|)2=d2即

　　∴.

　　评注：善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题.

　　1.4 数形结合的思想在不等式的证明与求解中的应用

　　在不等式的证明与求解问题中，我们往往采取用代数方法解决的思路，事实上，利用数形结合的思想，依据我们的直观感觉构造几何模型，使得解题过程大大简化，有利于培养学生思维的广阔性和灵活性。

　　【1】.解不等式>x-1.

　　分析：令=y，则y2=-(x-3) (y≥0), 它表示抛物线的上半支.令y=x-1表示一条直线.作出图象求解.

　　解：作出抛物线y2=-(x-3) (y≥0),以及直线y=x-1.

　　解方程组得x=2或x=-1(舍去),

　　由右图可知：当x<2时不等式>x-1成立，所以原不等式的解集为{x| x<2}.

　　点拨解疑：一般地，形如(亦可<)等不等式皆可用数形结合求解，更一般地可作出图象的函数或方程都可试用此法.如-3<<2等.

　　其次，由于草图的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应.比如，在同一坐标系画几个函数图像要注意函数图像的延伸趋势以及伸展“速度”，见【2】【3】，

　　【2】.判断命题：“当a > 1时，关于x的方程无实数解。”正确与否。

　　错解：在同一坐标系中，分别画出函数(a > 1)及 (a > 1)的图像，如图2-1所示，可见它们没有公共点，所以方程确无实数解，故命题正确。

　　评析：实际上对不同的实数a，及的图像的延伸趋势不同，例如当a = 2时，原方程无实数解;而当a =时 ，x = 2 便是原方程的解。说明两图像向上延伸时，一定相交，且交点就在直线y = x上。上面的错解就是潦草作图，而画出了个有误差的图形，并且想当然地根据图形而不去注意函数图像的延伸趋势而造成的。

　　又如：判断命题：“当0

　　命题错误。因为此时有唯一解和三解的情况。在指数函数与其反函数的图像上，不仅在直线上有一个交点，而且和这两点也应在它们图像上，所以应该至少有三个交点。

　　【3】.　较与(n 大于1的自然数)的大小

　　错解：在同一坐标系中分别画出函数y =及y =的图像，如图2-2所示，由图可知，两个图像有一个公共点。当x = 2时， =，当x > 2时有<成立，所以，当n = 2时 =，而且当n 是大于2的自然数时，<，

　　评析：事实上，当n = 4时，与，也相等;n = 5时，>.错解是因为没有充分注意到两图像的递增“速度”!要比较两个图像的递增速度，确实很难由图像直观而得。本题可以先猜想，后用数学归纳法证明。本题的正确答案是　当n = 2，4时 =， 当n = 3时 ， <， 当n 是大于4的自然数时，>， 证明略。

　　总之，要让学生真正掌握数形结合思想的精髓，必须有雄厚的基础知识和熟练的基本技巧，如果教师只讲解几个典型习题并把学生讲懂了，就认为学生领会了数形结合这一思想方法，是偏面的。教师要有做好长期渗透的思想，平时要求学生认真上好每一堂课，学好新教材的系统知识，掌握各种函数的图像特点，理解各种几何图形的性质。教师讲题时，要引导学生根据问题的具体情况，多角度的观察和理解问题，揭示问题的本质联系，利用“数”的准确澄清“形”的模糊，用“形”的直观启迪“数”的计算，从而来解决问题。教学中要紧紧抓住数形转化的策略，通过多渠道来沟通知识间的联系，激发学生学习兴趣，并及时总结数形结合在解题中运用的规律性，来训练学生的思维能力，提高理解和运用的水平。只有这样，不断提高、深化数形结合运用的能力。

　　教师要认真研究教材，从数学发展的全局着眼，从具体的教学过程着手，逐步渗透数形结合的思想，让学生养成数形结合的良好习惯，使它成为分析问题、解决问题的工具，这是我们所有数学教育工作者应该追求的目标。

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