摘要：增益裕量是衡量控制系统稳定程度的一个重要频域指标，增益裕量的正确计算有利于控制系统的分析和设计。论文通过一个实例说明通过绘制Bode图可以获得正确的增益裕量值，而在利用公式计算该值时会出现错误，正切公式所具有的特点正是计算时出错的主要原因，只有k=0的情况才能获得正确的相位交界频率值，否则要结合Bode图才能得出正确的结论。

　　关键词：增益裕量 相位交界频率 计算错误

　　1 引言

　　在设计控制系统时，我们不仅希望系统是稳定的，而且还希望系统必须具备适当的稳定性裕量。稳定性裕量包括相位裕量和增益裕量(又称幅值裕量)，它们是频域中评价系统稳定性好坏的性能指标。尽管从判断系统稳定性的角度而言，增益裕量并没有相位裕量可靠[1]，但增益裕量作为重要的系统设计及稳定性评价指标，在控制理论中仍有着重要的作用。在有关控制理论的各教材[1,2,3]中均给出了相位裕量和增益裕量的概念及计算方法，但在利用公式计算增益裕量时却容易出错，而增益裕量的错误计算必然导致控制系统的设计及分析错误。

　　2 增益裕量计算误区

　　2.1 增益裕量的概念

　　如果一个反馈控制系统前向通道和反馈通道的传递函数分别为G(jw)和H(jw)，则增益裕量指在相位等于-180°的频率ωg处开环频率特性幅值|G (jω)H(jω)|的倒数，用Kg或Kg(dB)表示，即

　　(1)

　　或

　　(2)

　　其中频率ωg称为相位交界频率。当Kg>1，或Kg(dB)>0dB时系统稳定。图1中(a)和(b)

　　*学校教改项目：“控制工程基础”课程建设与改革(K100411)

　　是分别用Nyquist图和Bode图来表示一个稳定系统增益裕量的示意图。显然，增益裕量就是指在相位交界频率ωg处使最小相位系统频率特性幅值达到稳定边界所需要的附加增益的大小，是一个稳定系统在幅值上的储备。

　　2.2 增益裕量计算错误示例

　　已知一个反馈控制系统的开环传递函数为

　　要求确定该系统的增益裕量，并分析系统的稳定性。

　　2.2.1 计算分析法

　　在运用公式(1)或(2)求增益裕量前，先要确定相位交界频率ωg，计算过程如下：

　　(3)

　　1)当时，式(3)变为：

　　(4)

　　两边取正切后可解出ωg=rad/s。而此时，显然不是该区域的解。

　　2)当时，式(3)变为：

　　(5)

　　化简得：(6)

　　两边取正切后化简仍得到ωg=rad/s。因为，所以认为系统相位交界频率为rad/s。

　　将该值代入式(2)，可得出：，因其大于0dB，从而得出了“该闭环系统是稳定的”这样一个结论。

　　2.2.2 绘图分析法

　　下面我们利用Matlab软件来绘制一下该系统开环传递函数对应的Bode图，从图上来分析一下该系统的增益裕量及相应闭环系统的稳定性。Matlab分析程序如下：

　　num=[20]; den=conv(conv([1,0],[1,0]),conv([1,5],[1,2,4])); sys_tf=tf(num,den);

　　bode(sys_tf); grid; [Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(sys_tf)

　　绘制的Bode图见图2：

　　图2 系统Bode图

　　Fig.2 Bode diagram of this system

　　由Bode图可以看出，因相位并未穿越-180°相位线，所以可认为无相位交界频率，因而无法获得确定的增益裕量值(Matlab程序运行结果取相位交界频率值ωg=0 rad/s，增益裕量Kg(dB)=0dB)，而从图上(或利用Matlab程序运行结果)也可获得相位裕量的相关值，即增益交界频率ωc=1.0457rad/s，相位裕量g=-47.5480°。从这些数据可知该闭环控制系统不稳定。显然，根据图形分析的结果与前面用公式计算的结果并不符合，而从图3所示的该系统的根轨迹图可以看出，不论开环根轨迹增益(本例为20)取何值，闭环系统均存在两个右根，为不稳定系统，图形分析所得结果是正确的。为什么直接利用公式来计算增益裕量

　　会出错呢?

　　图3 系统根轨迹图

　　Fig.3 Root locus of this system

　　3 错误原因分析

　　分析前面利用公式求取相位交界频率的过程，可发现对式(6)的化简用了正切公式：

　　该式计算的目的是使，若将此结果代入式(5)，会出现-360°= -180°的错误结果，而该错误正是取正切计算所导致的。此时，要注意到式(5)左边的值才是ωg=rad/s对应的相位，而这个结论从图2所示的系统Bode图也可查到。

　　4 结论

　　增益裕量是衡量控制系统稳定程度的一个重要频域指标。增益裕量可通过公式计算以及绘制Bode图的方法获得。但由于在公式计算中求取相位交界频率时往往要用到正切公式，其所具有的的特点正是计算时易出错的主要原因，只有k=0的情况才能获得正确的相位交界频率值，否则要结合Bode图才能得出正确的结论。

　　参考文献

　　[1] Morris Driels. Linear Control Systems Engineering. 清华大学出版社,2007.

　　[2] 王显正, 陈正航, 王旭东编著. 控制理论基础. 科学出版社.2000.

　　[3] 王积伟, 吴振顺主编. 控制工程基础. 高等教育出版社.2001.