摘要: 幂级数作为高等数学中的重要一章，其幂级数收敛半径求解历来是较为困难的知识点，在专升本、考研等考试中具有重要地位。在学习过程中应在理解概念的基础上，根据具体题目的形式，利用分类的方法对收敛半径进行求解，保证解答的正确性。

　　关键词：幂级数;收敛;半径

　　中图分类号 G 712 文献标识码 A

　　1 幂级数

　　幂级数的一般形式：

　　(1)

　　公式(1)称为的幂级数[1]。其中称为幂级数的系数。

　　当公式(1)中，得到特殊的幂级数：

　　(2)

　　1、幂级数收敛

　　对于幂级数，当时，该幂级数成为常数项级数。

　　1)当收敛时，称在处收敛，点 为幂级数的收敛点;

　　2)当发散时，称在处发散，点 为幂级数的发散点;

　　当时，幂级数收敛于;在处，幂级数也收敛于.

　　2、幂级数收敛半径

　　对于幂级数，若时收敛，则对于区间内的任何点，幂级数

　　基金项目：泸州职业技术学院2014年度院级教改项目(JG-201407); 泸州职业技术学院2015年度院级教改项目(JG-201504);泸州市职业教育研究中心2016年度研究课题(LZJY-2016-18)

　　作者简介：张延利(1980.9-),男,山东莱芜人,硕士,讲师,从事高等数学教学;四川省泸州市长桥路2号,泸州职业技术学院基础部数学教研室,646005, E-mail: zyl16899@163.com

　　都收敛。即总存在非负实数,使得幂级数在内的任何点出均收敛，在内的任何点处均发散。

　　满足上述的非负数称为幂级数的收敛半径，开区间称为幂级数的收敛区间。

　　幂级数的收敛半径存在以下两种特殊情况：

　　1) 若幂级数只有在时才收敛，则规定收敛半径;

　　2) 若幂级数在整个数轴上收敛，则规定收敛半径。

　　2 幂级数收敛半径的求法

　　1、不缺项型

　　定义幂级数为不缺项型的幂级数，令，则

　　1)当时，定义，收敛区间为;

　　2)当时，定义,收敛区间为;

　　3)当时，定义,幂级数仅在处收敛。

　　2、缺项型

　　定义幂级数为缺项型的幂级数，该幂级数的收敛的半径的求法要利用比值审敛法。

　　比值审敛法：设正项级数，且，则当时级数收敛;当时发散;当时级数可能收敛也可能发散。

　　利用比值审敛法对于缺项型幂级数可做如下求解：

　　令，则幂级数，只需令，则

　　。

　　1)当时，定义，收敛区间为;

　　2)当时，定义,收敛区间为;

　　3)当时，定义,幂级数仅在处收敛。

　　3 例题求解

　　例1 求幂级数的收敛半径和收敛区间。

　　解 因

　　所以，收敛半径，收敛区间。

　　例2 求幂级数的收敛半径和收敛区间。

　　解 因

　　所以，收敛半径，幂级数仅在处收敛。

　　例3 求幂级数的收敛半径和收敛区间。

　　解 因，所以，收敛半径.

　　因为，幂级数中的被代换为，所以在收敛区间求解时收敛范围变为：

　　，即，

　　收敛区间为。

　　例4 求幂级数的收敛半径和收敛区间。

　　解 令

　　因 ，

　　所以，

　　即，收敛半径，收敛区间。

　　例5 求幂级数的收敛半径和收敛区间。

　　解 令

　　因 ，

　　所以，

　　即，收敛半径，收敛区间

　　4 总结

　　幂级数收敛半径和收敛区间的求法对于缺项型和不缺项型两种不同情况，求解思路不同和求解方法均不同。因此，在该知识点的学习过程中应注重题目的幂级数形式，根据具体题目采用相应的方法进行求解。

　　参考文献

　　[1] 同济大学数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2010.

　　[2] 叶永春,朱勤.高等数学及应用[M].北京:北京大学出版社,2014.

　　[3] 熊庆如.高等数学[M].西安:西安交通出版社,2015.

　　[4] 陈广生.高职院校《高等数学》课堂教学最优化研究[J].大众科技,2010,(12).