例.设{an｝是首项为1的正项数列，且(n+1)a2n+1-n a2n+ an+1 an=0(n=1,2,3,…)，则数列{an｝的通项公式是什么?

　　解：(一) 变形分解因式：

　　法1. ∵(n+1)a2n+1-n a2n+ an+1 an=0 ∴n a2n+1-n a2n+ a2n+1+ an+1 an=0

　　∴n( a2n+1-a2n) + an+1(an+1+ an)=0 ∴n(an+1+ an)(an+1- an)+ an+1(an+1+ an)=0

　　∴(an+1+ an)[n(an+1- an)+ an+1]=0

　　∵{an｝是首项为1的正项数列

　　∴an+1+ an>0 ∴n(an+1- an)+ an+1=0

　　∴(n+1)an+1=n an

∴=

∴an==

　　法2.十字相乘法分解因式：

　　∵(n+1)a2n+1-n a2n+ an+1 an=0 ∴[(n+1) an+1-n an]( an+1+ an)=0

　　∵{an｝是首项为1的正项数列

　　∴an+1+ an>0 ∴(n+1) an+1-n an=0

　　∴(n+1)an+1=n an

∴=

∴an==

　　(二)看成关于a2n+1的一个一元二次方程，采用求根公式：

　　法3. ∵(n+1)a2n+1-n a2n+ an+1 an=0

∴ an+1=

∴an+1=an或an+1= - an ∵{an｝是首项为1的正项数列

∴an+1=

∴=

∴an==

　　(三)联想齐次式的处理手段，然后分解因式或求根公式解答：

法4. ∵(n+1)a2n+1-n a2n+ an+1 an=0(两边同乘以)

∴(将其看成关于的一元二次方程，利用分解因式或求根公式解答) 法5. ∵(n+1)a2n+1-n a2n+ an+1 an=0(两边同乘以)

∴

即(将其看成关于的一元二次方程，利用分解因式或求根公式解答)

　　法6. ∵(n+1)a2n+1-n a2n+ an+1 an=0

∴

令x=,则(n+1)x-+1=0 ∴ 解得：x= 即=

∴an==

　　(四)特别说明：以上各种方法都会求到这一步：(n+1)an+1=n an 还有什么好的方法呢?

　　法7.令bn= n an 则bn+1=bn ∴数列{bn｝是常数列 又∵b1=a1=1 ∴bn=1

∴n an=1 ∴

变式、已知数列{an｝满足an+1=,试求其通项公式。

　　(五)归纳、猜想、证明：

　　法8. ∵{an｝是首项为1的正项数列，且(n+1)a2n+1-n a2n+ an+1 an=0(n=1,2,3,…)

∴令n=1,可得a2= 令n=2,可得

∴猜想

　　然后证明。(证明略)