如何上好高等数学绪论课

　　袁田 廖毕文 杨晶

　　袁田(1983- )，女，湖北武汉

　　摘要：一次好的绪论课对今后的学习可以起到提纲挈领的作用，本文从四个方面就如何上好高等数学绪论课作了讨论。

　　关键词：高等数学;绪论;发展史

　　俗话说得好：良好的开端是成功的一半。一堂成功的绪论课，不但可以增强学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，更能使学生产生一种积极主动的学习态度，为下一步学习新知识做好铺垫，对教师以后的教学工作产生重要影响。由于高等数学有着高度的抽象性、严谨的逻辑性，使得刚接触高等数学知识的学生会感到陌生、难以掌握，因而有必要在绪论课上给学生讲一讲学习高等数学的重要性，利用绪论课介绍高等数学的发展史、主要内容以及学习方法。 高等数学学习的重要性 在人类历史的进步与发展中，数学一直扮演着重要角色。数学的应用已经广泛渗透到自然科学的各个领域中，从医学上的CT技术到印刷排版的自动化，从飞行器的模拟设计到指纹的识别，从地震石油勘探的数据处理到信息安全技术等等，在当代科技、文化、社会、经济和国防等诸多领域中无处不有着数学的重要贡献。正如著名数学家华罗庚的精彩描述：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁。

　　结合我校的人才培养方案，高等数学主要从以下几方面发挥作用： 提供必要的数学工具，为后续课程学习奠定基础; 锻炼“数学的理性思维”，如抽象思维、逻辑思维等，这些都将会潜移默化地在日 后的工作中起作用;

　　3. 通过使学生了解数学文化，提高数学素养，培养全面的审美情操，为学生的终身学习打基础。 介绍高等数学的发展史 17世纪以前的数学，研究的数是常数或常量(即在某一运动变化过程中保持不变，可以看作一个固定数值的量)，研究的形是孤立的、不变的规则几何形体。研究常量间的代数运算和不同几何形体内部及相互间的关系，分别形成了初等代数和初等几何，统称为初等数学。因此，这个阶段称为初等数学阶段。

　　1637年，法国数学家笛卡尔引入了坐标，建立了解析几何。解析几何学是运用代数的方法，借助坐标来研究几何对象的。解析几何学的主要创立者是笛卡尔和费尔马。费尔马在研究曲线轨迹问题时想把代数用到几何中去，从此开创了在一个坐标系中用一系列的数值表示一条曲线轨迹的方法。

　　解析几何的建立，沟通了数学中两个基本研究对象“数”与“形”之间的联系，用代数运算去处理几何运算，为处理一般变量间的依赖关系提供了几何模型，使数学的发展进入了一个全新阶段。在这个阶段中，研究的“数”是变数或变量(即在某一运动变化过程中不断改进变化，可以取不同数值的量)，研究的“形”是不规则的几何形体，如曲线、曲面、曲边形和曲面体等，而且“数”和“形”开始紧密联系起来。

　　到了17世纪，许许多多的科学问题需要解决，归纳起来，可分为四种类型的问题：一是研究运动时要求瞬时速度问题;二是求曲线的切线问题;三是求函数的最大值与最小值问题;四是求曲线的长度、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个相当大的体积的物体作用于另一物体上的引力等。17世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国的牛顿和德国数学家莱布尼茨分别独立研究和完成了微积分学的创立工作。这虽然是十分初步的，但他们独自地建立了微积分学的体系。他们最大的功绩是把看起来不相关的两个问题联系起来，一个是切线问题(它是微分学的中心问题)，一个是求积问题(它是积分学的中心问题)。

　　此后，数学的发展遂出现了一日千里之势，形成了内容丰富的高等代数、高等几何与数学分析三大分支，在此基础上，还出现了一些其他分支，相对于初等数学，它们被称为高等数学。因此，有人把这一阶段(1637年到19世纪末)称为高等数学阶段。 介绍高等数学的主要内容 高等数学的核心内容是微积分。微积分研究的两类基本问题是变速直线运动的瞬时速度和平面图形的面积问题。

　　笔者在上课中是通过两个现实问题情景来阐述这两类问题的。

　　问题情景一：

　　一辆汽车从北京出发，经过10h的行驶到达青岛，行程共计830km，可以算出汽车整个行驶过程中的平均速度是83km/h。但是在实际行驶过程中，汽车的行驶速度不可能始终保持不变，总会有快有慢。那么，我们怎样才能知道在此行驶过程中某一时刻的速度呢?

　　这个问题是微积分学中微分问题的典型代表。微分学的基本概念——导数，就是从这类问题抽象出来的。

　　问题情景二：

　　众所周知，我国国土面积大约是960万平方公里，由于边境线是延绵曲折的，面积不能用初等数学的方法计算，那么，这个数据是怎么求出的呢?

　　这个问题是微积分学中积分问题的典型代表。积分学的基本概念——定积分，就是从这类问题抽象出来的。

　　这两类问题代表了微积分学中两类典型问题，其求解的思想方法就是微积分思想方法的具体体现。由此可以看到，与初等数学不同，高等数学不是个别地讨论问题，而是普遍地解决问题，有了导数，就可以解决一批关于求函数在某点变化快慢程度的问题;有了积分，就可以解决一批关于求函数在某区间变化大小的问题。其次，导数和积分分别是从局部和整体认识同一事物的两个方面。导数是研究函数在一点处的变化情况的，仅与函数在该点附近局部性态有关;而积分则研究函数在一个区间上的变化，与函数在该区间上的整体性态有关。虽然如此，它们的研究方法却是类似的。在上面两个例子中，采取的方法都是：在微小局部“以匀代非匀”，“以直代曲”，求得近似值，通过求极限转化为精确值。这是微积分解决问题的基本思想方法，体现了通过转化矛盾解决矛盾的唯物辩证法的分析方法。 介绍高等数学的学习方法 高中与大学阶段的学习方式有较大的区别。在高中阶段，老师在每次课堂上讲授的内容少，例题多，学生练习及时，基本上在课堂上就可以把概念理解透彻，在课后只需巩固或提高，而且在课后，教师还会有相当的时间为学生辅导，在一定的时期内还会有单元检测或阶段考试等，这就无形中助长了学生被动学习的习惯，学生围着老师转。而大学阶段，数学教学内容多、速度快，在课堂上学生练习的机会少，关键靠学生在课后对知识进行巩固吸收，即使在课余，师生交流的机会也少，各种复习巩固环节也要靠学生自主完成。如何使得学生在课余时间的学习可以达到事半功倍的效果，取决于教师在课堂上的正确引导，指导学生做好课前预习和课后复习。课前预习，既可以提高听课积极性和效率，又可以使学生克服对老师的依赖心理，增强学习信心。课后复习，让学生进行概括和总结，学会对知识的梳理，形成系统的知识体系，增强对知识的理解，保持有效记忆。

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