摘要：本文介绍了一种利用数域上矩阵的初等行变换求一组一元n次多项式的最大公因式的方法，同时给出了一个求多项式的最小公倍式的新方法—矩阵求法,应用这个方法,在一个多项式矩阵上仅施行初等行变换,即可同时求出两个多项式的最大公因式和最小公倍式。

关键词：-矩阵多项式 最大公因式 最小公倍式

　　一、初等变换法在求最大公因式中的应用

　　1、最大公因式的求法

　　利用行、列变换求多项式最大公因式的方法, 其实质是利用多项式矩阵的初等行、列变换求多项式矩阵的一阶行列式因子,多项式最大公因式的某些性质建立了一种利用矩阵的初等行变换求解多个多项式最大公因式的方法,即单纯运用数字矩阵的初等行变换求最大公因式的方法。

定理1　设分块多项式矩阵，若经过行初等变换化为

则是与的最大公因式,且满足。

例1求因式的最大公因式

　　解用初等变换法

()=

定理2　,,,则

例2求多项式与

　　的最大公因式

解：

故：

　　2、 互素问题及有无重因式中的应用

　　分析：判断多项式是否互素就是看他们的最大公因式是否为1

例3证明多项式互素

证明所以=1，即互素

定理3多项式没有重因式的充要条件是与它的导数互素

例4 判断多项式有没有重因式

　　分析：只须判断f(x)与它的导数是否互素.

解

， 即有重因式+1

　　二、初等变换法在求最小公倍式中的应用

定理4设是数域P上的非零多项式，分别是最大公因式和最小公倍式，则与相差一个非零常数因子，即存在cp(c0)使c=m。

从定理5可知，对于非零多项式由最大公因式可求出最小公倍式，反之，有最小公倍式m(x)也可求出最大公因式

为多项式的首项系数为1 的最小公倍式,为元素在P[ x ]上的全体2 级多项式矩阵.作为方法的理论依据的证明,需要下面的引理.

引理1　对非零,

引理2　对非零∈,且b 为的首项系数,有

定理5设是非零多项式若=

则存在可逆的多项式矩阵BM(P[x])使的=，其中

若又有可逆的多项式矩阵C使的=，则。

例5设求的最大公因式与最小公倍式

解对实行初等行变换：

所以

解题实践表明，用这种方法解最小公倍式比先求最大公因式，再求乘积最后计算商式要简便的多.

　　参考文献

　　[1]蒋忠樟,多项式最大公因式的矩阵求法.数学通报,1989,6:23-24.

　　[2]王新民,最大公因式与最小公倍式的统一求法[J].数学通报,12(2001).41-45.

 1/2    1 2 下一页 尾页