摘要：牛顿、莱布尼茨之所被认为是微积分的创立者，主要是他们发现了微分与积分的互逆关系，找到了根据导数求原函数的一种简便方法，从而把表面上互不相干的两种运算统一起来了，使微分与积分成为一种普遍意义的强有力的数学方法，为数学的发展开发开辟了一条新的康庄大道。

　　关键词：微分与积分　完善　创立　统一

　　凡是学过微积分的人，都熟知一元微积分中的牛顿-莱布尼兹公式以及多元微积分中的格林公式、斯托克斯公式、高斯公式。虽然从表面上来看，这几个公式形式不同，但是，它们之间有着必然的联系。在一元微积分中，牛顿-莱布尼兹公式是最重要的公式，它建立了微分学与积分学之间的联系，反映了一元函数的积分与微分之间的矛盾。其实，积分和微分也就是整体和局部的关系;而在二维空间，区域是由曲线组成，在三维空间，曲面是由曲线组成，立体是由曲面组成，它们也是整体与局部的关系;格林公式体现的是二重积分与曲线积分之间的联系;而斯托克斯公式、高斯公式分别体现了曲面积分与曲线积分、三重积分与曲面积分之间的联系。这些公式揭示了函数在区域内部的积分与边界上的积分间的关系，建立了高维空间中微分学与积分学之间的联系，所以称它们是微积分学的最基本的定理。

　　一、定理建立的时代背景

　　多数高等数学教材中的微积分基本定理，其严格的表述与证明的依据是由法国数学家柯西(CauchyAugustin—Louis 1789￣1851)在他的著作《分析教程》中提出的。

　　17世纪初，很多数学家为微积分的创建做了大量的准备工作。例如，意大利数学家Luca valerio和工程师Simon Stevion在求水闸压力问题时，先把水闸分成很窄的水平长条，然后让这些长条饶其中位线旋转成水平状态，再求出长条所受的压力，把所有长条上的压力加到一起就认为是水闸的压力。这种加法和现代的积分方法已经比较接近了。

　　微分学的前期工作是切线问题和极限问题，　1629年，费尔马就研究过周长为2B的长方形，当边长为2B时其面积最大。即周长为一定的长方形中正方形的面积最大。在牛顿和莱布尼兹研究微积分之前，微积分的前期准备工作已经很长远了，所以，定积分出现在不定积分之前。而微分学的起源比积分学的起源晚得多。

　　牛顿(Newton Lssac，1642—1727)，英国大物理学家和数学家，牛顿在1665—1687间，对微积分的研究成果为：《正流数术》、《反流数术》、《流数简论》、《运用无限项方程的分析》、《流数发与无穷级数》、《自然哲学的数学原理》。莱布尼兹(LeibnizGottfriedWilhelm，1646—1716)德国的大数学家和哲学家，他于1675年给出积分号“∫”，它是求和“sum”字头“S”的拉长，同年

dxe=exe-1dx 和

　　引入微分号“d”，1676年，莱布尼兹得出公式(e为实数)。后来又得到高级微分公式“莱布尼兹法则”。

dbdn(uv)=

　　经过18世纪、19世纪众多数学家的精细研究，微积分不仅硕果累累，而且概念更为准确，理论更为严密。其中，18世纪的代表作为欧拉的《无限小分析引论》，《微分学》和《积分学》。这三本巨作可成为数学史上的里程碑。19世纪最影响的是柯西，柯西的代表作有《分析教程》，《无穷小分析教程概论》，《微分计算教程》，在他的著作中，对极限、无穷小、函数的连续性、级数收敛性、导数与微分、定积分、微积分基本定理和中值定理都有精辟的论述。德国数学家维尔斯特拉斯(KarlWeierstrass。　1815—1897)是微积分严格化的

　　又一功臣。他建立了一种不依赖于直观的纯粹的算数化的微积分。终于使微积分达到了严密的形式。维尔斯特拉斯也被誉为“现代分析之父”。

　　法国数学家达布(Darboux。JeanGaston 1842￣1917)在1875年有给出了推广意义下的微积分基本定理(即把定理(1)(2)中的“f(x)在[a、b]连续改为“f(x)在[a、b]可积”)。

　　二、表述定理的两种形式

　　定理1 如果函数f(x)在[a，　b]上连续，则积分上限函数

φ(x)=在[a， b]上具有导数，且它的导数是φ’(x)=f(x)a

定理2 如果函数f(x)在[a，　b]上连续，又函数F(x)为f(x)在[a，b]的一个原函数， 则=　F(b)-　F(a)。

　　三、定理的重要解析意义

　　微积分主要由微分学与积分学两部分组成，微分学的中心问题为切线问题，积分学的中心问题是求积问题。微分学与积分学是同时发展的两个概念，直到17世纪后期，微积分的基本定理建立以后，才在微分学与积分学之间架起一座桥梁，而且在理论上标志着微积分完整理论的形成，从此，微积分才成为一门独立的学科。

　　定理(1)与(2)揭示了定积分与不定积分之间的联系，求原函数，从而为计算定积分提供了一个十分有效的方法，同时揭示了微分与积分之间的本质联系—微分与积分互为逆运算。

　　定理(1)表明对函数取积分后再取导数，或对表达式取积分后再取微分，则完全恢复原状态。有如先后进行两种的两种运算先后“抵消”，因此，可以认为微分(或导数)与积分是互逆运算。定理(2)则从另一角度对这种关系做了进一步的揭示。

　　我们取分点：a=x0

　　F(xi)一F(xi-1)=F’(ξi)( xi-xi-1)=F(ξi)Δxi

　　其中xi-1<　ξi< xi ，　Δxi=xi-xi-1 ，i=1,2,…n。于是

F(b)-F(a)=——(1)，另λ=→0，对(1)两边取极限，得F(b)一F(a)==——(2)。

等式=可粗略的理解为F(x)在各点X0，x1，…. xn-1，，xn的微分之和;因此，(2)式又表明F(x)在[a、b]上各点处的微分斟日(即定积分就是F(x)在[a、b]上各点的增量F(b)-F(a)。这就从理论上揭示了积分与微分分别是同一变量(原函数增量)的整体形式和局部形式，积分是微分dF(xi)的无限积累;微分dF(xi)是积分的无限细分，这就从和·差角度进一步阐明了微分与积分之间的互逆关系。

　　导数、微分、不等积分与定积分是微积分学中最重要的概念，其中微分与不定积分都是由导数定义的，三者之间的联系是明显的，但定积分同这三个概念的联系却不能从定义中看出，正是微积分基本定理从理论上揭示了定积分与微分之间的互逆关系，使微积分的四个重要概念得到了完全沟通，从而使微分学与积分学形成一个有机整体。自此可以看出，将定理叫“微积分基本定理”是理所当然的了。

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