这样，二维离散分数余弦变换(变换核可分离)可相应写为

(12)

　　式(12)是二周期的分数余弦变换对应的二维离散分数余弦变换，对于K周期的分数余弦变换，其变换核可相应的记为

(13)

　　类似上面的推导，可得到其离散形式为

(14)

　　其中，DN=diag(1,e-jπmod(1,K)α,..., e-jπmod(N-1,K)α)，这样推得的二维离散分数余弦变换(变换核可分离)为

(15)

　　3 实验与仿真

　　选择如图1所示的二维离散矩形信号，分别进行二维离散余弦变换、二维离散分数余弦变换，变换结果示于下图。二维矩形信号是一个37×37点的离散信号

　　图1、二维矩形信号 图2、二维矩形信号的余弦变换

　　图3、二维矩形信号的分数余弦变换α=1/3,β=2/3图4、二维矩形信号的分数余弦变换K=2,α=1/3,β=2/3

　　图5、二维矩形信号的分数余弦变换K=10,α=1/3,β=2/3图6、二维矩形信号的分数余弦变换K=18,α=1/3,β=2/3

　　图2为二维矩形信号的余弦变换结果，图3为Soo-Chang Pei形式的二维离散分数余弦变换的变换结果，图4为K=2时的变换结果。对比图3、图4可见，二者只是形式上接近，还是可以看出明显的差别，这是叠加项数太少的缘故。图5所示是将叠加项数增加到10项时的变换结果，图6是将叠加项数增加到18项时的变换结果。对比图4、图5、图6可以看出，随着叠加项数的增大，变换的结果越来越接近于图3，大量的实验表明，当叠加项数超过18时，图形的形状不再变化，达到实际应用的要求。

　　总结 综上所述，本文给出了两种形式的二维离散分数余弦变换，由实验仿真可见，我们推导的两种变换可以达到相同的变换结果。考虑到二维离散余弦变换主要用于图像压缩编码，作为其广义形式的二维离散分数余弦变换在图像处理领域会有实际应用。

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