摘要：本文将一维分数余弦变换推广到二维形式，并基于特征值与特征向量的理论，推导了一种二维离散分数余弦变换的新形式，建立了两种变换的联系。数值实验仿真表明，两种形式的分数余弦变换可以达到相同的变换结果，最后展望了新形式的二维余弦变换在图象处理中的应用。

　　关键词：分数傅立叶变换 分数余弦变换 特征向量

　　引言 分析和处理平稳信号的最常用的方法是傅立叶分析，傅立叶正反变换建立了信号时域和频域的变换桥梁。在现代信号处理中，非平稳信号的处理尤其引人注目，这使得分数傅立叶变换作为一种时频分析的工具获得了广泛的发展。A.Sahlin等在文献[1]中将分数傅立叶变换推广到了二维连续空间，Soo-Chang Pei等发展了二维分数傅立叶变换，给出了其离散形式[2]。并定义了分数余弦变换[3]。周知，二维余弦变换是有效的图像压缩编码方法，图像压缩技术的提高必将为传真、电视会议、医用图像传输带来益处[4-9]。而分数余弦变换是余弦变换的广义形式，本文先将Soo-Chang Pei定义的一维分数余弦变换推广到二维情形，又推导了一种新形式的二维分数余弦变换，并进行了相应的数值实验，最后展望了分数余弦变换在图象处理中的应用。 二维离散分数余弦变换 2.1 Soo-Chang Pei形式的二维离散分数余弦变换

　　众所周知，离散余弦变换(DCT)的变换核有四种形式，对于其中的DCT-I型，其变换核为

(1)

系数，将DCT-I型推广到分数阶得到离散分数余弦变换，其变换核为

(2)

　　其中 α为分数余弦变换的阶，UN=[V0(x)|V2(x)|,…,|V2(N-2)(x)]，VK(x)(K=0,2,4,…,2N-2, N为取样点数)为DCT-I型的特征向量，且这些特征向量构成一完备正交集[3]。若用CM,N,α,β(p,q,m,n)表示二维离散分数余弦变换的变换核，则对于一个(M,N)点的二维离散信号，其Soo-Chang Pei形式的二维离散分数余弦变换为

(3)

如果CM,N,α,β=CM,βCN,α(代表张量积)，则称变换核是可分离的。这样，式(3)可以写成

(4)

　　2.2 二维离散分数余弦变换的新形式

　　1995年，Chun-Ching Shih利用傅立叶变换的四周期性，将前四阶傅立叶变换线性叠加构造了一种新形式的分数傅立叶变换[10]，类似地，用前两个整数阶余弦变换的线性叠加可以构造分数余弦变换。若用算符Cα表示某一函数的分数余弦变换，满足(1)Cα对任意实数α连续;(2)C0[f(t)]=f0(t);C1[f(t)]=f1(t),其中，f0(t)仍是信号本身，而f1(t)是f(t)的余弦变换;(3)Cα满足可加性Cα+β[f(t)]=Cα[Cβ[f(t)]]，则分数余弦变换可如下定义

(5)

　　由分数余弦变换满足的条件，可以推得

(6)

　　所以

(7)

　　下面基于Soo-Chang Pei定义的分数余弦变换[3]，用特征值及特征向量计算的方法，将(7)式推广。对于整数阶M，其余弦变换的特征向量为V2m(t)，对应的特征值为e-jmMπ(m=0,1,2,…N-1，N为取样点数)，又由式(7)可知，分数余弦变换的新形式是取前两阶整数α=0,1的余弦变换的线性叠加，故其特征向量仍然为V2m(t)。由上述及分数余弦变换的条件(2)，在式(7)中用V2m(t)替代f0(t)，经过推导可得

(8)

　　若分数余弦变换新形式的特征值为λm，则

(9)

　　由式(9)可见，特征值λm具有二周期性，可记为λm=exp(-jπmod(m,2)α)，mod表示求余数。类似地，当叠加项数增加到K项(K=2n,n为整数)即使其特征值具有K周期性，即λm=exp(-jπmod(m,K)α)，这样，二周期的分数余弦变换又可以写为

　　若变换核为Rα(t,v)，则

(10)

对信号f(t)进行N点的取样(设N为奇数)，取样间隔为,取样区间为，则，当N充分大时

　　其中，DN=diag(1,e-jπmod(1,2)α,..., e-jπmod(N-1,2)α)，若RN,α表示离散形式的变换核，则

(11)

 1/2    1 2 下一页 尾页