2.2.3 迭代阈值法

　　IST算法的思想最先在基于小波域图像重建的最大期望值算法中提出。其形式如下：

时为最初的表示形式。其中是阈值函数，给定阈值，则

　　或

　　阈值函数的选择主要看值较大的系数，经过函数后是否保持不变。在IST算法的基础上，之后出现了提高其速度的TwIST(Two-Step IST)算法和FIST(Fast IST)算法，它们的迭代形式在IST的基础上改进如下：

TwIST:

FIST:

其中。

　　2.2.4 最小全变分法

相对于适合一维信号重构的最小范数法，Candés等从大量自然图像的离散梯度都是稀疏的角度出发，提出了更适合二维图像重构的最小全变分法。图像压缩传感的全变分模型如下：

目标函数为图像离散梯度之和，即

　　该问题的求解可以转换为二阶锥规划问题。最小全变分模型可以有效地解决图像压缩传感重构问题，结果精确而且鲁棒，但运算速度较慢。 3、压缩感知理论在信号处理中的应用上述对压缩感知理论框架进行了简要的介绍，重点介绍了其信号重构部分一些近来的经典算法。下面将针对一维信号和二维图像的重建问题，利用这些算法实现如下：

　　1) TwIST：

　　图2 原始图像 图3 模糊并加噪图像

　　图4 TwIST恢复图像图5 模糊图像

图6 恢复图像(归一化函数为全变分模型)图7f 一维信号重构(归一化函数为范数)

　　2)基于小波变换的OMP算法：

　　图8 信号重构采样图 图9 原始图像

　　图10 小波变换后的图像图11 恢复的图像 4、结语本文介绍了CS基本理论框架及关键技术，重点对压缩感知理论中的信号重构的各种算法及其在信号重构方面的应用进行了具体的研究，但压缩感知理论在国外还处于一个发展阶段，国内的研究基本上只停留在应用阶段。压缩感知理论的研究已经有了一些成果,但是仍

　　然存在大量的问题需要研究.概括为以下几个方面：(1)对于稳定的重构算法是否存在一个最优的确定性的观测矩阵;(2)如何构造稳定的、计算复杂度较低的、对观测次数限制较少的重构算法来精确地恢复可压缩信号;(3)如何找到一种有效且快速的稀疏分解算法是冗余字典下的压缩感知理论的难点所在;(4)对于p-范数优化问题的求解研究还远远不够。

　　压缩感知理论是新诞生的,虽然还有许多问题待研究,但它是对传统信号处理的一个极好的补充和完善,是一种具有强大生命力的理论,其研究成果可能对信号处理等领域产生重大影响 5、参考文献[1] E Candés. Compressive sampling[A]. Proceedings of the International Congress of Mathematicians [C], Madrid, Spain, 2006, 3:1433-1452.

　　[2] E Candés, J Romberg, Terence Tao. Robust uncertainty principle: Exact signal reconstructionfrom highly incompletefrequency information [J]. IEEE Trans. on Information Theory, 2006, 52 (2): 489-509.

　　[3] E Candés, J Romberg. Quantitative robust uncertainty principles and optimally sparse decompositions [J], Foundations of Comput Math, 2006, 6 (2): 227-254.

　　[4] D L Donoho. Compressed sensing [J]. IEEE Transactions On Information Theory. 2006, 52 (4): 1289-1306.

　　[5] D L Donoho, Y Tsaig. Extensions of compressed sensing [J]. Signal Proscessing, 2006, 86 (3): 533-548.

　　[6] E Candés, T Tao. Near optimal signal recovery from random projections: Universal encoding strategies [J]. IEEE Transactions Information Theory, 2006, 52 (12): 5406-5425.

　　[7] D Needell, J Tropp. CoSaMP: Iterative signal recovery from incomplete and inaccurate samples [J]. Appl Comp Harmonic Anal, 2009, 26 (3): 301-321.

　　[8] M A T Figueiredo, R D Nowak, S J Wright. Gradient projection for sparse reconstruction:Application to Compressed Sensing and Otherinverse problem [J]. Journal of Selected Topics in Signal Processing: Special Issue on Convex Optimization Methods for Signals Processing, 2007, 1 (4): 586-598.

　　[9] M A Figueiredo,RD Nowak. An EM algorithm for wavelet-based image restoration,IEEE Transactionson Image Processing, 12 (2003):906-916.

　　[10] J M Bioucas-Dias, and M A T Figueiredo.A New TwIST: Two-Step IterativeShrinkage/ThresholdingAlgorithms for Image Restoration, IEEE Transactions on Image Processing, 2007, 16 (12), 2992-3004.

　　[11] A. Beck, M. Teboulle, A fast iterative shrinkage-thresholding algorithm for linearinverse problems, SIAM J. on Imaging Sciences, 2009.

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