=N(r)*r (3)

　　由于光谱曲线具有分形特征，不同步长测量得到的光谱响应曲线的长度是一个变量，当尺子长度越来越小，则所测得的曲线长度越来越长。在一无标度区间，测量的次数N(r)与尺子长度r呈幂指数关系：

(4)

其中，k为一常数，D为分形维。则光谱曲线长度由式(3)可表示为：

(5)

　　对式(5)两端同取双对数，可得：

(6)

其中，M为待定常数。只要求出一系列测量步长下的曲线长度和该测量步长下的尺子长度r，做出的双对数曲线，并拟合其斜率，就可求得该曲线的分维：

(7) 3.1.2 小波法原理

由小波理论和量规法可知：小波分解的尺度为j时对应的放大倍数为，相当于量规法中对应的步长为,即分解尺度变大，步长逐渐变小，所测得的光谱曲线越长。当步长更小时，曲线长度与步长之间表现为一种指数关系。也就是，当小波分解到一定程度时，这个幂指数为一个稳定值，那么就可以用这个值来表征分形维。借鉴量规法原理，小波法分形维的具体关系推导式如下：

当各尺度下曲线长度与尺度对应的步长，又因为每个像元的光谱曲线S为一矢量，可用二范数来表示长度[14]，且由式(5)可得出：

(8)

其中，L为曲线长度，为小波分解的步长，j为分解的尺度， k为一常数。(8)式两边同时取对数：

(M为一待定常数) (9)

将光谱曲线的二范数与分解尺度j在半对数坐标系下线性拟合，求得直线斜率为,则分形维D可表示为：

(10)

　　由实验取大量样本得出，小波分解级数大于7时细节信号长度与尺度在半对数坐标系下可拟合为一条直线(如图2),且分维值较稳定。

　　a b

　　图2 a为像元(5,5)的细节系数拟合图，b为像元(100,100)的细节系数拟合图

　　3.2 具体算法

　　(1) 首先采用小波变换对影像进行小波去噪。

　　(2) 采用Daubechies小波系列的db4作为母函数,对每个像元光谱信号进行15级小波分解。

　　(3) 分别对7～15尺度近似和细节系数取二范数并分别进行线性拟合取直线斜率。

　　(4) 由式(10)求取分维值D。

　　(5) 线性拉伸后得到两幅分维图。

　　< >监督分类及精度评价200。成像区域为洞庭湖区域，成像时间2001年4月26日。根据算法在matlab中实现后，计算得到近似和细节分维图，如图3。

　　a b

　　图3 a为近似分量分维图，b为细节分量分维图

　　然后对近似分量分维特征图进行3大类监督分类，即水体(包括河流和水塘)为蓝色、人工地物(包括居民地和道路)、植被(包括农田和草地)。如图4

　　a b

　　图4 a为小波法分类图，b为实地考察图

　　a b

　　图5 a为量规法分维图，b为量规法分类图

　　根据支持向量基分类得到的误差矩阵如表1，量规法得到的误差矩阵如表2。

　　表1 小波法分维图分类误差矩阵 Overall Accuracy = (4889/5359) 91.2297% Kappa Coefficient = 0.8586 Class 人工地物 水体 植被 人工地物 71.80 0.00 1.11 水体 1.78 97.83 3.48 植被 26.42 2.17 95.41 表2 量规法分形特征影像的混淆矩阵 Class 水体 人工地物 植被 水体 93.24 % 12.48% 7.94% 人工地物 0.02% 59.90% 2.44% 植被 6.74% 27.62% 89.61% 由图可知，本文得出的分维图比量规法目视效果要好。近似分维图与原图极为相似，但去除了原图中的噪声分量，而细节图将原图中的细节清晰表示出来;特别是居民地，能清晰地显现出来且与道路区别开来。相比量规法，本方法得出的分类效果最佳，且与实地考察图相当接近。量规法虽与此法接近，但精度没有此法高。若想进一步分析与分类，可将细节分量作为另一特征影像，基于这两个特征值可进行进一步细分，将获得更好的效果。

　　< >结论(1). 通过小波变换，将光谱曲线进行多尺度多分辨率分析，体现了曲线的分形特征，用分维来表征曲线，不仅保存了高光谱曲线光谱分辨率的优势，还将影像降到2维，方便用一般的遥感图像处理方法处理，减少了数据的处理与存储

　　(2). 通过多尺度的分维表示，更好地保存了细节信息，也减少了噪声对分维的影响，提高了处理精度。

　　(3). 特征影像降低了误分的可能性，减短了处理高光谱数据的时间。

　　(4). 通过光谱响应曲线的分维值将高光谱数据变换到光谱特征空间，结果直观。每一个像元都可以得到多个分形维，利用分形维可以构成一幅新的影像，可把高光谱数据光谱特征与空间分布特征充结合起来研究，更好地提取出有用信息。

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