摘要: 在分析小波阈值去噪原理的基础上，针对传统硬阈值和软阈值方法的缺点，本文提出了一种新的阈值函数。该函数表达式简单易于计算，不但同软阈值函数一样是连续的，而且是高阶可导的，便于进行各种数学处理，同时具有软硬阈值函数不可比拟的灵活性，使信号的自适应去噪成为可能。经实验验证，这种方法不仅可以有效地去除噪声，而且还可以保留图像的细节信息，比传统阈值方法更接近最佳情况。

　　关键词: 阈值函数;小波阈值;峰值信噪比;均方误差; 自适应去噪

　　中图分类号：TN721.3 文献标识码：A

Wang Hao-quan Wang Jun Key Laboratory of Instrumentation Science & Dynamic Measurement(North University of China), Ministry of Education, Tai 030051，ChinaAbstract: Based on analyzing the wavelet threshold de-nosing principle, a novel threshold function is presented to overcome limitation of the traditional soft- threshold and hard-threshold methods. It is not only simple in expression but also as continuous as the soft-threshold function.It is derivative of higher order and makes some kinds of mathematical disposals conveniently. At the same time, the new threshold function is more elastic than the soft- threshold and hard-threshold functions. This new threshold function makes it possible to construct an adaptive wavelet threshold de-noising algorithm. The simulation results show that this method can remove noise effectively and retain detail information of images. This method is closer than the traditional threshold method to the best situation.

　　Keywords: threshold function; wavelet threshold; power signal to noise ratio (PSNR); mean square error(MSE); adaptive de-noising

　　0引言

　　1994年，D.L.Donoho和I.M.Johnstone在小波变换的基础上提出了小波阈值去噪的概念[1][2]，并证明了此方法可在Besov空间中得到其他任何线性形式不可能达到的最佳估计。软阈值和硬阈值函数虽然在实际中得到了广泛的应用，但是本身存在着缺点。

软阈值法所取阈值函数虽然在小波域内是连续的，不存在间断点问题，但是它的导数是不连续的，因而在求高阶导数时存在困难,而且软阈值对大于阈值的小波系数采取恒定值压缩，这与噪声分量是随着小波系数增大而逐渐减少的趋势不相符。硬阈值法所取阈值函数在整个小波域内是不连续的，在和-存在间断点，这与实际应用中常常要对阈值函数进行求导运算存在矛盾，具有一定的局限性。同时，它只对小于阈值的小波系数进行处理，对大于阈值的小波系数不加处理，这与实际情况下大于阈值的小波系数中也存在噪声信号的干扰不相符[3-6]。

　　< >小波阈值去噪原理 (1)

其中为原始信号，为方差为的高斯白噪声，服从。

对进行离散采样，得到点离散信号，，其小波变换为

(2)

但在实际应用中，式(2)的计算比较繁琐，而且小波函数一般无显式表达，常采用Mallet算法来实现小波变换，即

(3)

(4)

　　相应的小波重构公式为：

(5)

其中：和分别是尺度函数和小波函数对应的低通和高通滤波器;和分别是和的共轭;为原始信号，为尺度系数;为小波系数。

记，因为小波变换是线性变换，所以对做离散小波变换后，得到的小波系数仍由两部分组成，一部分是信号对应的小波系数，记为，另一部分是噪声对应的小波系数，记为。

< >提出的小波阈值去噪方法的基本思想是：当小于某个临界阈值时，认为这时的主要是由噪声引起的，予以舍弃;当大于该阈值时，认为这时的主要是由信号引起，则把这一部分的直接保留下来(硬阈值方法)，或者按某一个固定量向零收缩(软阈值方法)，然后用新的小波系数进行小波重构得到去噪后的信号[1]。一种新的阈值函数 (6)

该方法思路很简单，去噪效果良好。由于软阈值方法估计出来的小波系数的绝对值总比要小，从而影响了重构精度，所以要设法减此偏差，但这种偏差减小为零(硬阈值方法情况)也未必是最好的，因为本身就是由和组成的。我们的目标是使最小，因此使的取值介于之间，可能会使估计出来的小波系数更加接近于，基于这一想构造了新的阈值函数。

　　通过对式(6)的分析，并且利用指数函数高阶可导的特点，我们提出一种新的阈值函数如下:

(7)

式中，为阈值。

该函数不仅在小波域内具有与软阈值函数相同的连续性，而且在时有高阶导函数。当时，该式可以看作是软阈值函数，当时可以看作硬阈值函数。该函数是现有软、硬阈值函数的一种推广，通过调整参数，可以克服硬阈值函数不连续和软阈值函数有偏差的缺点，同时具有能量自适应性。

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