(8)

和分别满足 (9)

(10)

式(9)的解是一条抛物线，可以表示为 (11)

令 (12)

式(12)只有实部有物理意义。于是式(10)可以改写成 (13)

式(13)满足无滑移边界条件 (14)

求解式(13)、(14)可以得到 (15)

其中，， (16)

也称为Womersley数。

　　将式(11)、(15)代入式(8)得到

(17)

　　式(17)即为起伏和摇摆条件下平行通道内不可压缩层流的无量纲速度表达式，需要注意的是式(17)没有考虑入口过渡段的影响，只适用于充分发展流体。

　　2.3 摩擦阻力系数

　　根据式(17)，可以得到壁面上的速度梯度：

(18)

摩擦阻力系数可以表示成 (19)

将式(18)代入式(19)可以得到摩擦阻力系数为 (20)

当流体流过平行通道时，两侧同时受到壁面摩擦力的作用，因而其所受到的摩擦阻力是流过平板的摩擦阻力的两倍。因而式(20)应改为 (22)

为了便于分析，将式(22)改写成 (23)

式(23)即为起伏和摇摆条件下平行通道内不可压缩层流的摩擦阻力系数表达式。在式(23)中，和可以看成是常数，摩擦阻力系数波动频率等于起伏和摇摆频率，、和三者同时制约着摩擦阻力系数的大小。和稳态条件下的摩擦阻力系数相同，起伏和摇摆条件下的平均摩擦阻力系数与成反比，而摩擦阻力系数的波动振幅与的平方成反比，这说明随着(流速)的增大，摩擦阻力系数波动振幅迅速减小。但是当(流速)增大到一定值以后，流体过渡到湍流状态，式(23)不再适用，因而，摩擦阻力系数波动振幅随(流速)的增大迅速减小的趋势有一定的限值。

　　3. 结果分析

从式(23)可以看出，摩擦阻力系数的的波动振幅受Womersley数的影响非常明显。令，分析随的变化趋势。取，结果如图3。

图3 随的变化趋势

Fig.3. Variation of with

图4 初始相位随的变化趋势

Fig.4. Variation of initial phase with 从图3可以看出，随着的增大，迅速减小，这是因为当时，约等于1，因而反比于的一次方。对于常压下50℃的水，。假定，，此时。因而在实际应用中可以认为摩擦阻力系数的波动振幅同时与和的一次方成反比。式(23)也可以简写成 (24)

表示初始相位差。显然与波动频率无关，只与有关。

从图4可以看出，当比较小时，随着的增加而增加，当大于2以后，略大于45°，此时随着的增加，缓慢下降，当大于4以后，保持为45°，并且不再随的增加而变化。这是因为当大于4以后，的实部与虚部大小相等，符号相反。由于在实际应用中，通常要大于4，因而式(24)可以进一步简写成

(25)

由于在工程应用中，通常要大于4，因而对于起伏和摇摆条件下平行通道内充分发展的层流流体，式(25)是适用的。

　　4. 结论

　　本文对平行通道内的层流流体进行了理论分析，建立了海洋条件下层流流体的运动模型。得出了起伏和摇摆条件下的速度和摩擦阻力系数表达式，并对摩擦阻力系数进行了合理的简化。和稳态条件下的摩擦阻力系数相同，起伏和摇摆条件下的平均摩擦阻力系数与Reynolds数成反比，而摩擦阻力系数的波动振幅与Reynolds数的平方成反比，同时摩擦阻力系数的波动振幅还与Womersley数的一次方成反比。但摩擦阻力系数的波动振幅随Reynolds数的增加而减小的趋势有一定的限值。摩擦阻力系数的波动与船体运动之间有45°的相位差。

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