图12 师：若只是确定点F位置的话，可以作点H关于CD的对称点H′，再作点H′关于AD的对称点H′′，连结E H′′交AD于点F，点F即为所求。谁能解释一下?学生8：……，∠1=∠2，

　　……，∠4=∠5，……。(如图12)

　　师：其实母球从点E处被击打后两次反射的情形有很多种(借助几何画板动态演示)，不过都会得到EF∥GH。(图13-1～13-3是另外几种有代表性的情形)

　　图13-1 图13-2 图13-3

　　(四)三次反射

　　师：如图10，若母球在点H处再反射一次，大家有没有想进一步探究的问题?

　　学生9：三次反射后母球会不会回到出发点E。

　　(师：借助几何画板动态演示，确认母球不一定回到出发点E，随着点F从点A开始沿AD向点D运动的过程中，三次反射后反射路线与球桌内侧边缘矩形ABCD的交点沿着矩形的边按B→C→D→A→B→C运动，即有且只有一种情形三次反射后回到出发点。图14-1～14-6是其中有代表性的几种情形。)

　　图14-1 图14-2 图14-3

　　图14-4 图14-5 图14-6

　　师：如图15，若回到点E，此时四边形EFGH是怎样的特殊四边形?

图15 学生10：平行四边形吧?! 师：直观感觉“平行四边形”这一结论是正确的，请同桌之间相互讨论一下如何证明?

　　众生思考：……

　　学生11：……∴∠9+∠10+∠6+∠5=180°，即∠EHG+∠FGH=180°，∴EH∥GF， 又∵

　　EF∥GH，故四边形EFGH是平行四边形。

　　学生12：已经证明了EF∥GH，同时若把点F作为出发点，两次反射运动到点E，同理可得：FG∥HE，所以四边形EFGH是平行四边形。

　　师：很好，借助“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到了证明。只要回到点E，四边形EFGH就是平行四边形，新的问题是：在出发点E确定的前提下，第一次反射的入射路线满足怎样的条件，三次反射后回到点E?

　　众生思考：……

　　学生13：我考虑点E是AB中点的特殊情况，此时，四边形EFGH是矩形ABCD的中点四边形，可知EF∥BD，也就是第一次反射的入射路线要平行于矩形ABCD的一条对角线，但我不知道其它情形是不是有同样的要求。

师：很好，尽管没有解决问题，但是确定了探究方向——“EF∥BD?”，我们来共同分析：刚刚借助几何画板的动态演示确认，有且只有一种情形三次反射后回到出发点，故对于这样一个条件开放问题，我们可以把“四边形EFGH是平行四边形”作为条件来逆向探究，……，△DGF≌△BEH，从而BH=DF，……，△AEF∽△BEH，从而，故，所以EF∥BD，即第一次反射的入射路线应平行矩形ABCD的一条对角线。

师：在初中范围内，对这类“条件开放”问题的探究，要关注过程的可逆性。接下来我们探究的问题是：矩形球桌ABCD的长记为，宽记为，从点E出发，三次反射回到点E时，台球经过的路线长。

图16 众生思考：……学生14：，过点F作FP∥DC交BD于P (如图16)，……，四边形BEFP是平行四边形，得EF=BP，……，△DFP≌△FDG，

　　得FG=DP，故EF+FG=BD，同理GH+HE=BD，

故路线长=2 BD=。

　　师：很好，事实上，这两个问题，我们也可

　　以借助轴对称变换来解决：

图17 如图17，……，若台球从点E出发，三次反射后要回到出发点E，则应从点E瞄向点E′′′，由BE∥B′′E′′′且BE=B′′E′′′，得四边形BEE′′′B′′是平行四边形，故EF(EE′′′)∥BD(BB′′)，EE′′′= BB′′=2 BD，即条件是第一次的入射路线平行于矩形ABCD的一条对角线，且运动的路线长等于两倍对角线长。师：利用这种办法，同学们不妨在课后探究：若把矩形球台ABCD改换成凸四边形球台ABCD，同样探究台球从边AB上的点E出发，依次在边AD、DC、CB反射一次回到出发点所具备的条件。

　　三、交流总结：……

　　[写在后面]

　　这节课用学生感兴趣的话题引课，营造一个宽松的氛围以使学生主动参与到交流中，力求为本节课的探究活动奠定基调，使接下来的探究活动有良好的开端。

　　“反射定律”和“轴对称”是学生非常熟悉的知识，在学生认知发展水平和已有知识经验的基础上展开对“台球反射”问题的探究。这样的数学活动的起点使得学生易于探究、乐于探究，即便后面碰到了疑难，也不至于轻言放弃。“题在书外，理在书中”，在“一次反射”的基础上对“两次反射”、“三次反射”进行探究，使问题层层深入。

　　本节课由于教学内容综合性较强，涉及到数学知识众多，对于学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力要求较高，故笔者安排在初三复习阶段进行。同时，十分重要的是笔者是在充分了解所任教班级学生的认知水平和接受能力的基础上设计并展开教学的，相关的知识与相关的方法，笔者在平时的教学中已有所涉及并落实过(当然结合执教班级学生的具体实际可对教学内容做适当调整)，毕竟教与学是一个不可割裂的连续的系统进程。特别地，多媒体课件(PPT2003、几何画板)合理有效的运用很大程度上助推了探究活动的顺利实施，从而使得较大容量的课例能够在一节课内得以实施。另外笔者也侧重内容的实施尽量通过学生主动的观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动展开，针对不同的探究活动，合理选用自主探究、合作交流、资优生表达、师生互动以及教师讲解等方式使教学内容顺利实施。

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