题型Ⅳ：解微分方程组

分析：一般此类的方程组。先观察其系数矩阵A，若A=(a)为t的函数。则可求出A的若尔当标准型J，找出可逆矩阵P，使PAP=J.然后通过各分量，解一阶线性方程，再代回变量X=PY，得到微分方程组的解。本题的A是一个实对称矩阵，故它相似于对角阵，求出P(特征向量构成的线性变换矩阵)，通过代换可解出此方程组。

解：令X=，A=，，则有：。A为R上的对称矩阵，故可对角化。先求出特征值=(，

当7时 (7 得：=(。

当 (得：。

取P=(，有PP==

令PY，其中Y=(则。

得：PY，即Y=Y，写成分量式：，

解得：(为任意实数)

代回Y，得方程组的解：

　　以上列举了四类题型，当然还有许多题型，但这是代表性的，故称为解题策略。在对策论的混合策略求解中也有对赢得矩阵对角化的求解，还有许多应用需要我们去挖掘和发现。

　　参考文献

　　⑴向大晶 矩阵可对角化的简单判断(J)数学通报2000(03)

　　⑵张力宏、辛大伟 一类特殊矩阵可对角化的判别及特征向量求法 大学数学(J)2009(06)

　　⑶朱靖红、朱永生 矩阵对角化的相关问题(J)辽宁师大学报 2005(3)

　　⑷富成华、习成海 矩阵可对角化的一个充要条件(J)辽宁师大学报2007(02)

　　⑸王萼芬、石生明 高等代数第三版【M】北京高等教育出版社2006.12

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