摘要:对数域R上矩阵可对角化的条件。依据教育教学的思想,对四类题题型的求解策略进行分析。使之对矩阵的特征值、特征向量、二次型、线性变换、正交变换、微分方程组的解进行创新组合。
关键词:矩阵 对角化 线性变换 特征值 特征向量 策略 引言 矩阵可对角化的理论是高等代数的热点、重点、难点问题。特别是求解过程复杂,涉及知识面宽广;如何砸这核桃,吃这核桃,依据教育数学的思想来阐述数域R上矩阵可对角化的解题策略。 准备知识和一些引理 引理2.1 设线性空间R中线性变换A在两组基:, (1)(2)下的矩阵分别是A和B,从基(1)到基(2)的过度矩阵是,于是B=A。亦称A相似于B。
既是说线性变换在不同基下的矩阵是相似的,我们希望在某一个基下线性变换A的矩阵是对角阵,其条件如何?以利于我们求解各类问题。将研究线性变换引向基下矩阵的研究。
引理2.2 设A是n组线性空间R上的一个线性变换,A的矩阵可以在某一组基下为对角阵的充分必要条件分别是: A有n个线性无关的特征向量 A有n个不同的特征值 A的特征多项式有重根,但对应线性无关的特征向量也有个 A是实对称矩阵 A的最小多项式是R上的一次因式的乘积 这里矩阵A是2.1所指矩阵,寻找,使B为对角阵,因此要判断一个线性变换在某个基下的矩阵是否是对角阵,由相似性,我们可以指定2.1中(1)基下的矩阵A来研究求解。 解题策略 题型Ⅰ:设A=是否与对角阵相似,说明理由。
分析:这是一个上三角阵,我们可以依据引理2.2(b)来判断。通常先求特
征值,如若还不能判断,再用(c)或者用(e)。
方法一:
=(-1)(+1)(-2).A的特征值为1、-1、2.
对=2,矩阵(2E-A)=的秩为3.
属于2的线性相关特征向量个数是4-3=1.故A线性无关的特征向量只能有3个,所以A不能对角化。
方法二:
f()==(
故最小多项式m(,
又(A-E)(A+E)(A-2E)0
f(A)=(A-E)(A+E)(A-2E)=0
m()=(它不是一次因式的乘积,所以A不能对角化
题型Ⅱ:二次型曲面A=2表示什么曲面?其中A=能相似对角化,=(、、)。
分析:这个矩阵A不对称,不是二次型的矩阵,但知其能相似对角化,通过可相似对角化可确定参数a,同时也能找出二次型的矩阵,而对于三阶实对称矩阵,我们用合同变换将其变成对角形。比求特征值的方法来得更快、更准。然后得到一个非退化的线性变换,将其变成标准型,就可断定是那种二次曲面了。
解:由A的特征多项式==(得矩阵A的特征值是。由于矩阵A可对角化,故无关的特征向量,那么由:秩(6E-A)=1,,
由此=2,故二次型的矩阵:A=。由合同变换:得,=,取,(y,y。可得二次型的标准型为单叶双曲面。
题型Ⅲ:设A是3阶实对称矩阵,其主对角线元素都是0,并且、2、-1),满足A=2,求①矩阵A;②求正交矩阵T,使T。
分析:由A的一个特征向量和A的对称性质及0元素,依据A可求出A。然后适当选取正交的特征向量(或Schmidt正交化)求出正交矩阵T,使A对角化。
解:设A=,已知是A的一个特征向量,
由A
故A=再求出正交矩阵T,使T。由(,得矩阵A的特征值为,=-4。
当=2时由(2E-A)=0,有。注意:在这里取二个正交非0的正交解。
得到属于=2的特征向量
当,得到属于的特征向量。因为已正交,而不同的特征值的特征向量正交,故只需单位化。有:。取T=(=T即为所求正交阵相应是正交变换。得T。
由此题解法,在维数低于4时,求基础解系取正交的比Schmidt正交化简便多了。