摘要：数学归纳法是一种重要的证明方法，在相当多的数学问题中需要用到它.本文在详细的阐述数学归纳法的基础上结合实例来说明其功能的强大.

　　关键词：数学归纳法 原理 变形 应用

　　1 理论依据

数学归纳法的理论依据是最小数原理：正整数集中的任何一个非空子集必含有一个最小数.也就是说，存在数，对任意的都有.

　　2 数学归纳法

　　2.1 数学归纳法原形

设是一个含有自然数的命题，若满足：

(i) 当时成立;

(ii) 假设当时成立，能推出时也成立.

根据(i) (ii)知，对一切自然数，都成立.

数学归纳法的实质是递推，第一步要证明的命题成立，称其为奠基步骤，是论证递推的基础;第二步是归纳步骤，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，是递推的根据，这两步密切相关，缺一不可.

　　2.2 数学归纳法的几种变形

变形1 (i) 验证命题对(1) 成立;(ii)假设命题在时成立，进而证明时命题也成立.

变形2 (i) 验证命题对(1) 成立;(ii) 假设命题在时成立，进而证明时命题也成立.

变形3 (i) 验证命题对…，成立;(ii) 假设命题在时成立，进而证明时命题也成立.

　　2.3 数学归纳法证题注意点

　　①两步缺一不可，第一步是命题论证的基础，第二步是命题论证的关键;

　　②第二步必须用上归纳假设，否则就不是数学归纳法;

　　③直接用数学归纳法证明有困难时，可以先将命题转换成等价或加强命题;

④有关数列的命题，当时，不一定只有一项，从过渡到也不一定只增加了一项;

　　⑤第二步证明比较困难时，先具体考察如何从1过渡到2，如何从2过渡到3，…，从中发现规律，称为不完全归纳法，然后再用数学归纳法严密的证明，其中包含了“归纳-猜想-证明”的思想方法;

　　⑥有关等式和不等式的命题，可以简捷的解决许多问题.

　　3 应用举例

例1 已知，证明：.

证明：先证. ①

(1)当时，①式显然成立;

(2)假设当时，①式成立，即.

则当时，，

当时，①式也成立. 即①式对任意的均成立.

，即. ②

下证当时，. ③

(1) 当时，③式成立;

(2) 假设当时③式成立，即.

则当时，由②式知，，

，

当时，③式也成立. 即对任意的，③式均成立.

， 即.

例2 已知整数列{}满足且有，求证：当时是奇数.

证明：，又，.同理

猜想：是正整数，并有.下证之，

(1) 当时，猜想成立;

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