摘 要 本文应用矢量分析与场论的有关方法，给出在一般情况下，由自由电荷和极化电荷的分布求得电位移矢量D的积分表达式，并以此式来直接反映D与自由电荷及极化电荷间的关系，得到D仅与自由电荷有关的条件. 同时用此条件讨论和解释了一些相关问题.

　　关键词 散度; 旋度; 电位移矢量; 自由电荷; 极化电荷; 电场强度.

　　中国图书分类号 0441.1

　　关于电位移矢量D有一些容易混淆又不易说清的问题，教材中一般也未作更深入的讨论. 笔者试根椐静电场的基本理论，结合矢量分析与场论的有关理论与方法，对电位移矢量D仅与自由电荷有关的条件，以及相关的电荷分布问题做一些讨论.

　　1. 电移矢量D仅与自由电荷有关吗?

　　静电场中有电介质时的高斯定理为

(1)

上式右端只出现自由电荷，这容易使人认为“电位移矢量D仅与自由电荷有关”. 事实上，与真空相比电介质中的情况要复杂得多：电介质在自由电荷激发的电场中被极化而产生极化电荷，产生的电场又影响着原来电场的分布. 结合电位移矢量的定义可知，一般来说D不仅与、、场强E、极化强度 P等物理量有关，而且它们之间彼此影响，相互制约，关系颇为复杂，因而使人往往难以理清各量之间的关系，以至于感到疑惑甚至产生误解.

应该指出，式(1)表明的是通过闭合面S上D的通量仅与该闭合面内所包围的自由电荷有关，这并不意味S面上各点的D仅与有关. 换句话说，式(1)中关于D的积分结果只决定于，并不等于D本身只决定于，须知D和D的通量是两个不同的概念，不能混为一谈. 虽然，在不少场合下确实也常遇到D仅与自由电荷有关的情况，但这是有条件的，不能把它当作一般性的结论. 事实上，电场中所有的电荷(包括极化电荷)都对D有贡献，但计算通过闭合面的D的通量却只涉及该闭合面内的自由电荷. 通常，在具有某些对称性分布的情况下可利用介质中的高斯定理方便地求出D，但这与“D仅与自由电荷有关”是两码事.

　　为了更深入地了解矢量D与自由电荷和极化电荷间的关系，我们希望在一般情况下能直接由自由电荷分布和极化电荷分布求出D，并给出其具体表达式.

　　2.由电荷分布直接求D的积分表达式

我们知道，如果一个矢量场的散度和旋度及其边界条件已知，则该矢量场就能唯一确定.要求矢量D的分布，可用D的散度和旋度所表示的积分式给出. 设已知电位移矢量D的场方程为

(2)

(3)

由(3)式有，再利用矢量恒等式，并将(2) 式代入可得

(4)

因为任一矢量都可写成一个标量的梯度与另一个矢量的旋度之和，当D的散度及旋度已知时，(4)式右边也是已知的，并可用一矢量表示之，于是(4)式便简化为

(5)

这是关于矢量D的泊松方程，记r为场点的位矢，是体积元(源点)的位矢，为把所有的效应都计入，体积分应对全部空间进行，其解的一般形式可用下列积分式表示，即有

=

=

=

=

对于静电场总有，于是有

(6)

注意到和， 上式又可写为

()

()式清楚地表明，D的分布不仅与自由电荷体密度有关，还与极化电荷体密度和极化强度P有关，场中任意点r处的D(r)还可由(6)或()式给出的积分式求出. 那么，什么条件下D才仅与自由电荷有关?关系式何时成立呢?

　　3. D仅与自由电荷有关的条件

从(6)或()式容易看出，当满足条件

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