摘要：在线性代数中矩阵的秩一直是一个难点，由于课时的限制，学生对于秩的定义，求秩的方法，以及可逆矩阵理解不深，流于形式。本篇文章的第一部分从线性方程的有效性出发，利用学生中学解方程的知识，从线性方程的角度补充定义了矩阵的秩。证明了这种定义方式与一般的教材中定义方式的等价性，并从新的角度阐明一般的教材中的求秩的方法的真实用意。第二部分说明可逆矩阵对应的线性方程组是每个方程都有效且不矛盾的线性方程组。

　　关键词：矩阵的秩 线性方程的有效性 阶梯型 可逆矩阵

　　正文

　　在线性代数的学习中，许多同学反应太抽象，许多定义由于课时的限制没有办法和学生解释清楚。尤其是课时较少的学校，就没有介绍向量空间的维数，子空间等概念。学生无法深刻理解矩阵的秩，向量组的秩，以及逆矩阵等，只能生搬硬套教材中的定义，无法灵活运用。

　　如果能够利用学生在中学中解线性方程的经验，以矩阵对应的线性方程组中的有效方程个数作为矩阵的秩的定义的过渡，能让学生更容易理解矩阵的秩。将可逆矩阵对应每个方程都有效且不矛盾的线性方程组，不仅对可逆矩阵有更直观的理解，还对于后面的解空间有很好的引入。

　　这两种利用线性方程来加深理解的方法，也由于架起了大学数学与中学数学的桥梁，使学生的知识体系更加完整，提高了学生的学习积极性。

　　一、 矩阵的秩与线性方程组的有效方程个数

　　1.矩阵的秩即线性方程组的有效方程个数

　　下面就线性方程组的有效方程，做进一步的解释。若以线性方程组的有效方程个数作为其增广矩阵的秩的直接定义。我们首先需要做的是，建立起这种定义方法与一般的教材中秩的定义的等价性。

　　线性方程组的有效方程个数是指，除去可以被其他方程线性组合的方程，方程组最后剩下的方程个数。如，线性方程组

中(1.3)可以由(1.1)加(1.2)得到，从而它是无效的。而(1.1)与(1.2)不呈比例关系，他们各自都有效。因此方程组的有效方程个数为2。普通的线性代数教材都教会我们，2也是向量组的秩，其中

，，，

从而2是矩阵的秩。

总结来说，我们可以定义阶矩阵

　　的秩为它对应的m个n元线性方程构成的方程组

(1.4)

　　中有效方程的个数。

　　证明也十分简单。众所周知，矩阵的秩是其行向量组的秩，而向量组的秩为其最大线性无关组的成员个数，这与线性方程组中方程的有效个数不谋而合。

　　结论1：线性方程组对应的增广矩阵的秩是指线性方程组的有效方程个数。

　　2 化矩阵为阶梯型是在寻找方程组的有效方程个数

　　一般的教材中在介绍完向量之后才建立起矩阵的秩与向量组的秩的关系。而在此之前，对于矩阵的秩是用了两种方式定义，一种是非零子式的最高阶数，一种是化简为标准型后左上角的单位阵的阶数，或化简为行阶梯型后的阶梯数。我们常用的是后者，这也是我们求矩阵的秩的常规步骤。但学生对这种求秩的方法只是生搬硬套，不曾了解它的用意。如果以线性方程组中的方程的有效个数为过渡，学生对阶梯型的阶梯数这一秩的定义会有更深刻的理解。

　　要想找到方程组的有效方程个数，当我们遇到由多个方程构成的方程组时，肉眼很难分辨各行的关系。若采用阶梯消元法，则可以不用担心遗漏。

　　如，由m个n元线性方程构成的方程组(1.4)化为r个n元阶梯型线性方程构成的方程组

(1.5)

　　这是不难办到的。可以证明(1.5)的方程总数r即方程组(1.4)的有效方程个数。

　　首先，r不会少于方程组的有效个数，因为如何消元，方程组里的方程数都不会少于它的有效方程个数。然后，我们假设r大于方程组的有效个数，则不难得出结论，阶梯型方程组中有一个方程仍可以由其他方程线性组合。不妨把这个方程记作方程组的第h行，如下

显然第h行是不可能由(1.5)的其余行线性组合而成。如果线性组合的成员中有(1.5)的第一行，则该线性组合的的系数不可能为0(其它行的系数为0，无从抵消)，同理，线性组合的成员不包含(1.5)的第2行到第h-1行。然而，如果线性组合的成员只有(1.5)的第h+1行到第r行，则的系数永远是0。这种线性组合达不到第h行的结果。所以r小于方程组的有效个数的假设不成立，r只能等于(1.4)的有效方程个数。

　　从上面的证明过程我们发现，化方程组为阶梯型方程组在寻找方程组的有效方程个数上，有着机械但简单不遗漏的特点，这也正是阶梯型在线性代数的教材中被反复地用于各种知识点的原因所在。

　　结论2：化线性方程组为阶梯型线性方程组，是在寻找方程组的有效方程个数。

　　这样，我们完成了对秩的定义从“线性方程组的有效方程个数”到“行阶梯型的阶梯数”的过渡。

　　二、 可逆矩阵与每个方程都有效的n元线性方程组

　　1 可逆矩阵即每个方程都有效且不矛盾

　　一般教材中对可逆矩阵的定义是，存在n阶方阵与之相乘得到单位阵的矩阵称为可逆矩阵。这是单纯从运算出发的定义。克莱姆法则告诉我们，可逆矩阵对应的线性方程组具有唯一的解，不可逆的矩阵对应的线性方程组可能无解，可能有无穷多解。这提示我们，从另一个角度来看，可逆矩阵对应着这样的一类线性方程组，这种线性方程组由n个n元线性方程构成，且具备唯一的解。是什么导致一个方程组解的情况如此不同?

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