subject to (5)

　　迭代过程中为满足的一个向量，每次迭代都根据前一次迭代的结果重新定义，并可以得到此次迭代的结果，当达到指定的迭代次数或收敛到某一范围时，迭代停止。这里的为一系列的非增正数。从(5)式中可以看出，相对与矩阵

　　最小化的实质为解一系列的最小化问题，当，时，此问题就等同与最小化问题。

　　算法收敛性证明：

　　因此

　　最终可以得到

　　三 试验结果分析

　　本文选一组由雷克原子组成的基作为观测矩阵，其中，。观测信号为由十个雷克原子相卷积组成的的混合信号，选用的十个原子的位移参数-幅度图如图1(a)所示，混合信号波形如图1(b)所示：

　　图1(a) 图1(b)

　　分别用没有加权的最小化算法和加权的最小化算法对图1(b)中的混合信号进行分离，对于加权算法，选为0.5，分解得到的位移-幅度图如图2(a)和2(b)所示。从图2(b)可以看出加权后得到的解更稀疏，更能准确地分离出原始信号。

　　图2(a) 图2(b)

　　下面来谈论参数及对分解结果的影响，第一组试验我们选迭代次数= 4,= 0，分别为0.5;0.1;0.05;0.01，分解得到的位移-幅度值如表1所示。从表中可以看出，当= 0时，随着的减小，分解结果越接近原始信号。

　　表1 分解结果比较

　　分解结果

　　0.5 0.1 0.05 0.01

　　z0 0.0443 0.0472 0.0482 0.0491

　　-0.2494 -0.2499 -0.2500 -0.2500

　　0.3095 0.3099 0.3100 0.3100

　　0.2794 0.2799 0.2800 0.2800

　　-0.2393 -0.2399 -0.2399 -0.2400

　　0.4096 0.4100 0.4100 0.4100

　　0.4396 0.4400 0.4400 0.4400

　　-0.2192 -0.2199 -0.2199 -0.2200

　　0.6998 0.7000 0.7000 0.7000

　　0.7598 0.7600 0.7600 0.7600 0.0500

　　-0.2500

　　0.3100

　　0.2800

　　-0.2400

　　0.4100

　　0.4400

　　-0.2200

　　0.7000

　　0.7600

　　第二组试验我们固定= 0.5，分别为0;0.05;0.1;0.2，分解得到的位移-幅度值如表2所示。从表中可以看出，=0.05时分解结果最接近原始信号z0。

　　表2 分解结果比较

　　分解结果

　　0 0.05 0.1 0.2

　　z0 0.0443 0.0444 0.0441 0.0441

　　-0.2494 -0.2498 -0.2494 -0.2496

　　0.3095 0.3098 0.3095 0.3096

　　0.2794 0.2798 0.2794 0.2796

　　-0.2393 -0.2397 -0.2393 -0.2395

　　0.4096 0.4098 0.4096 0.4097

　　0.4396 0.4398 0.4396 0.4397

　　-0.2192 -0.2197 -0.2192 -0.2195

　　0.6998 0.6999 0.6998 0.6998

　　0.7598 0.7599 0.7598 0.7599 0.0500

　　-0.2500

　　0.3100

　　0.2800

　　-0.2400

　　0.4100

　　0.4400

　　-0.2200

　　0.7000

　　0.7600

　　四 结论

　　从试验中可以看出，最小化算法分解的结果取决与和的选择，加权的最小化算法为一种特殊的最小化算法，某些情况下，其分解的结果可能达到最好，现在面临的主要问题是如何来选择和从而使分解结果达到最优。

　　参考文献：

　　[1] S. Chen, D. L. Donoho, and M. A. Saunders. Atomic decomposition by basis pursuit. SIAM Review. 2001, 43(1): 129-159.

　　[2] Bertsekas D. Non-Linear Programming. Athena Scientific, Belmont, MA, 2nd edition, 1995

　　[3] Shrijver A. Theory of Linear and Integer Programming. John Wiley, 1998

　　[4] E. J. Cand`es, J. Romberg, and T. Tao, “Robust uncertainty principles: Exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information,” IEEE Trans. Inform.Theory, vol. 52, no. 2, pp. 489–509, Feb. 2006.

　　[5] E. J. Cand`es and T. Tao, “Near optimal signal recovery from random projections:Universal encoding strategies?,” IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 52, no. 12, pp.5406–5425, Dec. 2006.

　　[6] D. Donoho, “Compressed sensing,” IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 52, no. 4,Apr. 2006.

　　[7] Cand_es, E. J., M. Watkin, and S. Boyd, Enhancing Sparsity by Reweighted l1 Minimization,To appear in J. Fourier Anal. Appl.

　　[8] Simon Foucart and Ming-Jun Lai, Sparsest Solutions of 、Underdetermined Linear Systems via -minimization for 0 < q 1.July 22, 2008

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